Калькулятор дифференциальных уравнений онлайн с решением

Пошаговое решение ОДУ и систем, задача Коши, проверка подстановкой и график.

Содержание

Калькулятор решает обыкновенные дифференциальные уравнения — те, где искомая функция зависит от одной переменной. Весь путь занимает пять шагов.

Запиши уравнение
Введи его в строку, например y' + y = x. Производные — штрихами y′, y″ или в виде dy/dx, знак умножения можно опускать. Под строкой сразу видно, как калькулятор понял запись.
Выбери переменную или систему
Над строкой выбери y(x) или y(t). Переключатель «Система» добавляет строки для функций y, z и u — их можно добавлять и удалять кнопками + и −.
Добавь начальные условия
Для задачи Коши открой «Добавить начальные условия» и укажи точку x₀ и значения y(x₀). Для уравнений высших порядков есть кнопка «Условие на производную». Пустые поля не учитываются.
Нажми «Решить» или Enter
Калькулятор определит тип уравнения, выберет метод и покажет каждый переход с формулами. Ответ проверяется подстановкой в исходное уравнение.
Посмотри график и поделись
Ползунок C показывает, как меняется кривая при разных значениях постоянной. Кнопка «Скопировать ссылку на решение» сохраняет уравнение и условия в ссылке.

Уравнение

y' + 2y = x

то, что ты вводишь

Тип и метод

\mu = e^{2x}

линейное → интегрирующий множитель

Решение и проверка

y = \tfrac{x}{2} - \tfrac{1}{4} + C e^{-2x}

ответ подставляется обратно

Схема работы калькулятора: от записи уравнения к проверенному ответу.

Общее решение, частное решение и задача Коши

Решить дифференциальное уравнение — значит найти функцию, которая превращает его в верное равенство. Обычно таких функций бесконечно много: в ответе появляются произвольные постоянные C₁, C₂… — столько, каков порядок уравнения. Такой ответ называют общим решением, а его графики — семейством интегральных кривых.

Общее решение y = x²/4 + C уравнения y′ = x/2 — целое семейство парабол. Начальное условие y(0) = −1 оставляет одну из них: y = x²/4 − 1.

Частное решение — одна кривая из семейства. Чтобы её выбрать, задают начальные условия: значение функции в точке, а для уравнений высших порядков ещё и значения производных в той же точке. Такая постановка называется задачей Коши. Для уравнения n-го порядка нужно n условий: y(x₀), y′(x₀), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀).

В калькуляторе условия задаются в блоке «Добавить начальные условия». Без них ответ останется общим, а на графике можно двигать ползунок C и смотреть, как меняется кривая. С условиями калькулятор найдёт постоянные и проверит, что ответ им удовлетворяет.

Типы дифференциальных уравнений и методы решения

Уравнение первого порядка y′ = f(x, y) в каждой точке плоскости задаёт наклон касательной к решению. Если нарисовать эти наклоны короткими штрихами, получится поле направлений, а любое решение — кривая, которая везде идёт вдоль него.

Поле направлений для y′ = x − y. Каждый штрих — наклон касательной в точке. Зелёная кривая проходит через точку (0; 1), фиолетовая — через другую начальную точку, а пунктир y = x − 1 — решение, к которому они приближаются.

Найти такую кривую формулой удаётся не всегда, но для многих классов уравнений есть готовые методы. Первым делом нужно понять тип: от него зависят замена и весь ход решения.

Калькулятор пошагово решает дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, Риккати (если есть частное решение-многочлен), Клеро, в полных дифференциалах и с интегрирующим множителем, зависящим от x или от y. Для уравнений высших порядков — линейные с постоянными коэффициентами (неоднородные — методом вариации постоянных), уравнения Эйлера и уравнения без самой функции y (понижение порядка), а также линейные системы с постоянной матрицей. Поддерживается задача Коши. Каждый ответ проверяется подстановкой в уравнение. Если подходящего метода нет, решение расписывает ИИ, и калькулятор честно помечает, удалось ли проверить его ответ.

С разделяющимися переменными
$y' = f(x)\,g(y)$
Всё, что с y, переносят влево, всё, что с x, — вправо: dy/g(y) = f(x)dx. Затем интегрируют обе части. Корни g(y) = 0 проверяют отдельно — при делении они теряются.
Линейное первого порядка
$y' + p(x)\,y = q(x)$
Уравнение умножают на интегрирующий множитель μ = e^(∫p dx), и левая часть превращается в производную (μy)′. Другой путь — вариация постоянной.
Однородное
$y' = f\!\left(\frac{y}{x}\right)$
Правая часть зависит только от отношения y/x. Замена y = u·x сводит уравнение к разделяющимся переменным относительно новой функции u.
Бернулли
$y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n},\quad n \ne 0,\ 1$
Отличается от линейного множителем yⁿ справа. Замена z = y¹⁻ⁿ делает уравнение линейным относительно z.
Риккати (если есть частное решение-многочлен)
$y' = a(x)\,y^{2} + b(x)\,y + c(x)$
В общем случае не решается в квадратурах. Калькулятор ищет частное решение y₁ в виде многочлена; если оно нашлось, замена y = y₁ + 1/v даёт линейное уравнение для v.
В полных дифференциалах
$M\,dx + N\,dy = 0,\quad \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$
Левая часть — полный дифференциал функции F(x, y). Её восстанавливают по частным производным F′ₓ = M и F′ᵧ = N, а ответ записывают как F(x, y) = C.
С интегрирующим множителем μ(x) или μ(y)
$\mu\,M\,dx + \mu\,N\,dy = 0$
Если левая часть не является полным дифференциалом, иногда помогает множитель, зависящий только от x или только от y. После умножения на него уравнение решается как уравнение в полных дифференциалах.
Клеро
$y = x\,y' + \varphi(y')$
Общее решение — семейство прямых y = Cx + φ(C). Огибающая этого семейства даёт ещё и особое решение, которое из общей формулы не получается.
Линейное с постоянными коэффициентами
$y'' + a\,y' + b\,y = f(x)$
Корни характеристического уравнения λ² + aλ + b = 0 дают решение однородной части. Для неоднородного уравнения калькулятор находит частное решение методом вариации постоянных.
Эйлера
$x^{2}y'' + a\,x\,y' + b\,y = 0$
Решение ищут в виде y = xᵏ: показатель k находят из уравнения k(k − 1) + ak + b = 0. Замена x = eᵗ сводит задачу к постоянным коэффициентам.
Без самой функции y (понижение порядка)
$F\big(x,\ y',\ y''\big) = 0$
Если сама функция y в уравнение не входит, замена p = y′ понижает порядок на единицу. После решения для p остаётся проинтегрировать ещё раз.
Линейные системы
$X' = A\,X + F(t)$
Для системы с постоянной матрицей A по собственным числам строят фундаментальную матрицу. Неоднородную часть F(t) учитывают вариацией постоянных.

Примеры решения дифференциальных уравнений

Четыре типичные задачи с первого курса: разделение переменных, задача Коши для линейного уравнения, второй порядок и система. Каждую можно открыть в калькуляторе и сравнить ход решения.

Пример 1. Уравнение с разделяющимися переменными

y' = x\left(1 + y^{2}\right)

Правая часть — произведение функции от x и функции от y. Разделяем переменные. Делить на 1 + y² безопасно: это выражение всегда больше нуля.
$\frac{dy}{1 + y^{2}} = x\,dx$
Интегрируем обе части.
$\operatorname{arctg} y = \frac{x^{2}}{2} + C$
Проверка: производная найденной функции равна x/cos² и совпадает с правой частью.
$y' = \frac{x}{\cos^{2}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right)} = x\left(1 + y^{2}\right)$

Ответ

y = \operatorname{tg}\left(\frac{x^{2}}{2} + C\right)

Решить в калькуляторе

Пример 2. Задача Коши для линейного уравнения

y' + 2y = x,\qquad y(0) = 1

Уравнение линейное: p(x) = 2, q(x) = x. Находим интегрирующий множитель.
$\mu(x) = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$
Умножаем уравнение на μ — левая часть сворачивается в производную произведения.
$\left(e^{2x}\,y\right)' = x\,e^{2x}$
Интегрируем правую часть по частям и делим на e²ˣ.
$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + C\,e^{-2x}$
Подставляем начальное условие y(0) = 1.
$-\frac{1}{4} + C = 1 \;\Rightarrow\; C = \frac{5}{4}$

Ответ

y = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{5}{4}\,e^{-2x}

Решить в калькуляторе

Пример 3. Второй порядок с постоянными коэффициентами

y'' - 3y' + 2y = e^{x}

Решаем характеристическое уравнение однородной части.
$\lambda^{2} - 3\lambda + 2 = 0 \;\Rightarrow\; \lambda_{1} = 1,\ \lambda_{2} = 2$
Общее решение однородного уравнения.
$y_{0} = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x}$
Правая часть eˣ соответствует простому корню λ = 1, поэтому частное решение ищем с дополнительным множителем x.
$\tilde{y} = A\,x\,e^{x}$
Подставляем ỹ в уравнение и находим A.
$\tilde{y}'' - 3\tilde{y}' + 2\tilde{y} = -A\,e^{x} = e^{x} \;\Rightarrow\; A = -1$

Ответ

y = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{2x} - x\,e^{x}

Решить в калькуляторе

Пример 4. Система из двух уравнений

\begin{cases} y' = z \\ z' = -y \end{cases}\qquad y(0) = 0,\ z(0) = 1

Дифференцируем первое уравнение и подставляем второе — получаем одно уравнение второго порядка.
$y'' = z' = -y \;\Rightarrow\; y'' + y = 0$
Корни характеристического уравнения λ² + 1 = 0 равны ±i.
$y = C_{1}\cos t + C_{2}\sin t$
Функцию z находим из первого уравнения системы.
$z = y' = -C_{1}\sin t + C_{2}\cos t$
Подставляем начальные условия.
$y(0) = C_{1} = 0,\qquad z(0) = C_{2} = 1$

Ответ

y = \sin t,\qquad z = \cos t

Решить в калькуляторе

Как вводить уравнения: таблица обозначений

Записывай уравнение обычным текстом в одну строку. Пробелы не важны, регистр букв — важен: y, z и u — искомые функции, x или t — независимая переменная. Если выбрана переменная t, производная в виде дроби пишется как dy/dt. В системе используй функции y, z, u — запись вроде x(t) калькулятор не поймёт.

Что записать	Как ввести	Как выглядит
Первая производная	`y'dy/dx`	$y'$
Вторая производная	`y''d2y/dx2`	$y''$
Производные старше, до шестого порядка	`y'''y'4`	$y''',\ y^{(4)}$
Умножение	`2xy2xy`	$2xy$
Степень	`y^2x^(1/3)`	$y^{2},\ x^{1/3}$
Дробь	`(x+1)/(y-1)\frac{x+1}{y-1}`	$\frac{x+1}{y-1}$
Экспонента	`e^xexp(x)`	$e^{x}$
Натуральный логарифм	`ln(x)log(x)`	$\ln x$
Квадратный корень	`sqrt(x)\sqrt{x}`	$\sqrt{x}$
Тригонометрия	`sin(x)cos(x)tg(x)arctg(x)`	$\sin x,\ \cos x,\ \operatorname{tg} x,\ \operatorname{arctg} x$
Модуль и число π	`abs(x)pi`	$\|x\|,\ \pi$
Система: функции y, z, u	`y' = zz' = -y`	$\begin{cases} y' = z \\ z' = -y \end{cases}$

Частые вопросы о калькуляторе

Как решить дифференциальное уравнение онлайн?

Чем общее решение отличается от частного?

Общее решение содержит произвольные постоянные C₁, C₂… и описывает целое семейство функций. Частное — одна функция из этого семейства, её выделяют начальными условиями. Чтобы получить частное решение, добавь условия вроде y(0) = 1.

Как ввести задачу Коши?

Открой «Добавить начальные условия», укажи точку x₀ и значение y(x₀). Для уравнения n-го порядка обычно нужно n условий в одной точке: y(x₀), y'(x₀), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀) — условия на производные добавляются кнопкой «Условие на производную».

Можно ли решить систему дифференциальных уравнений?

Да. Включи переключатель «Система» и запиши до трёх уравнений для функций y, z и u — каждое в отдельной строке. Другие имена функций, например x(t), калькулятор не понимает. Начальные условия задаются для каждой функции отдельно.

Что значит «проверено подстановкой»?

Калькулятор подставляет найденную функцию и её производные обратно в уравнение и упрощает разность левой и правой частей. Если получается тождественный ноль, ответ верный. Такая проверка подтверждает найденные решения, но не доказывает, что других нет.

Что будет, если уравнение не подходит ни под один метод?

Тогда решение расписывает ИИ, и калькулятор честно помечает, удалось ли проверить его ответ подстановкой. Такой расчёт может занять до пары минут. Не у каждого уравнения есть решение в элементарных функциях, поэтому сначала проверь запись: аргументы функций в скобках — sin(x), степени через ^, производные штрихами.

Можно ли поделиться решением?

Калькулятор бесплатный?

Запиши уравнение

Выбери переменную или систему

Добавь начальные условия

Нажми «Решить» или Enter

Посмотри график и поделись

Общее решение, частное решение и задача Коши

Типы дифференциальных уравнений и методы решения

С разделяющимися переменными

Линейное первого порядка

Однородное

Бернулли

Риккати (если есть частное решение-многочлен)

В полных дифференциалах

С интегрирующим множителем μ(x) или μ(y)

Клеро

Линейное с постоянными коэффициентами

Эйлера

Без самой функции y (понижение порядка)

Линейные системы

Примеры решения дифференциальных уравнений

Пример 1. Уравнение с разделяющимися переменными

Пример 2. Задача Коши для линейного уравнения

Пример 3. Второй порядок с постоянными коэффициентами

Пример 4. Система из двух уравнений

Как вводить уравнения: таблица обозначений

Частые вопросы о калькуляторе

Что ещё посмотреть