Простейшие уравнения на ЕГЭ

Какие уравнения встречаются в задании 5

Задание 5 — это простейшие уравнения, и в вариантах они чередуются по типам: линейные, квадратные, рациональные, иррациональные, показательные и логарифмические. Развёрнутого решения тут не требуется, нужен только числовой ответ, поэтому весь навык — быстро узнать тип уравнения и свести его к простому.

Часто в условии просят не любой корень, а конкретный: наименьший, наибольший или корень на заданном промежутке. Это важно дочитать до конца: уравнение может иметь два корня, а в бланк идёт только один. Поэтому решаем полностью, а потом выбираем нужный по условию.

• Линейные и квадратные
• Рациональные и иррациональные
• Показательные и логарифмические
• Ответ — число, иногда конкретный корень

Рациональные уравнения и ОДЗ

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель — нет. Возьмём уравнение (x − 3)/(x + 1) = 0. Числитель обращается в ноль при x = 3, знаменатель при этом равен 4 — не ноль, значит x = 3 подходит.

Знаменатель задаёт область допустимых значений: точки, где он обнуляется, из ответа исключают. Если бы корень числителя совпал со значением, обнуляющим знаменатель, его пришлось бы отбросить. Привычка сразу отмечать ОДЗ спасает от «лишнего» корня, который формально получился, но в исходную дробь не подставляется.

• Дробь = 0 ⇔ числитель = 0
• Знаменатель ≠ 0
• (x − 3)/(x + 1) = 0 → x = 3
• Отмечай ОДЗ сразу

Показательные уравнения: приводим к одному основанию

Показательное уравнение решают, приводя обе части к одному основанию: если a^x = a^k при положительном a, не равном 1, то показатели равны, x = k. Например, 3^(x − 2) = 27. Замечаем, что 27 = 3³, значит x − 2 = 3 и x = 5.

Иногда основание нужно узнать в дробях. Уравнение (1/2)^x = 8 удобно переписать через двойку: (1/2)^x = 2^(−x), а 8 = 2³. Тогда −x = 3 и x = −3. Главное — не решать «в лоб», а увидеть общее основание, к которому сводятся обе стороны.

• Приведи к одному основанию
• a^x = a^k → x = k
• 3^(x − 2) = 27 → x = 5
• (1/2)^x = 8 → x = −3

Логарифмические уравнения: определение логарифма

Простейшее логарифмическое уравнение раскрывается по определению логарифма: logₐ b = c равносильно b = a^c. Уравнение log₂(x − 1) = 3 означает x − 1 = 2³ = 8, откуда x = 9. Аргумент x − 1 при этом равен 8 — положителен, значит ОДЗ соблюдена.

Ещё пример: log₃(5 − x) = 1 даёт 5 − x = 3¹ = 3, то есть x = 2. Проверяем аргумент: 5 − 2 = 3 больше нуля, всё в порядке. Аргумент логарифма всегда должен быть положительным, поэтому в логарифмических уравнениях ОДЗ проверяют обязательно — иначе можно записать корень, которого на самом деле нет.

• logₐ b = c ⇔ b = a^c
• Аргумент логарифма > 0
• log₂(x − 1) = 3 → x = 9
• log₃(5 − x) = 1 → x = 2

Иррациональные уравнения и проверка корней

В уравнении с корнем обе части возводят в квадрат, но помнят: правая часть должна быть неотрицательной, а полученные корни надо проверять. Простой случай: √(2x + 7) = 3. Возводим в квадрат: 2x + 7 = 9, откуда x = 1. Подстановка даёт √9 = 3 — верно.

Возведение в квадрат не равносильно и может добавить лишние корни. Решим √(x + 2) = x. После возведения: x + 2 = x², то есть x² − x − 2 = 0, корни x = 2 и x = −1. Проверяем: при x = 2 получаем √4 = 2 — верно; при x = −1 слева √1 = 1, а справа −1, равенство ложно. Значит, x = −1 — посторонний корень, в ответе только x = 2.

• Возводим обе части в квадрат
• Правая часть должна быть ≥ 0
• √(2x + 7) = 3 → x = 1
• √(x + 2) = x → x = 2, корень −1 посторонний

Как выбрать ответ и проверить себя

Когда корней несколько, ещё раз читаем условие: просят наименьший, наибольший или корень на промежутке — и выбираем именно его. Обидно решить уравнение верно, а в бланк записать не тот из двух корней.

Самопроверка простая: подставь найденное число обратно в исходное уравнение. Для рациональных и логарифмических заодно убедись, что знаменатель не ноль, а аргумент логарифма положителен; для иррациональных — что после возведения в квадрат не появился посторонний корень. Это часть 1 с коротким ответом, но ОДЗ держать в голове необходимо, иначе легко записать лишнее число.