Проценты и части на ЕГЭ

Что такое процент и коэффициент изменения

Один процент — это одна сотая часть, то есть 1% = 1/100 = 0,01. Чтобы найти p процентов от числа, его умножают на p/100. Например, 15% от 800 — это 800 · 0,15 = 120. Никакой отдельной магии в процентах нет, это обычная доля, записанная в удобной форме.

Удобнее всего работать через коэффициент изменения. Увеличить величину на p процентов — значит умножить её на (1 + p/100), уменьшить — на (1 − p/100). Рост на 20% — это множитель 1,2, снижение на 20% — множитель 0,8. Один множитель заменяет цепочку «найти процент, потом прибавить или отнять».

• 1% = 1/100 = 0,01
• p% числа = A · p/100
• Рост на 20% → ×1,2
• Снижение на 20% → ×0,8

Наценка, скидка и налог

Большинство задач первой части — это одно умножение на коэффициент. Магазин закупает картофель по 40 рублей за килограмм и продаёт с наценкой 60%: цена на полке равна 40 · 1,6 = 64 рубля. Куртка стоила 1200 рублей, на неё дали скидку 25%: новая цена 1200 · 0,75 = 900 рублей.

Налог устроен так же. Если к цене без НДС 1000 рублей добавляется налог 20%, покупатель платит 1000 · 1,2 = 1200 рублей. Главное — не считать процент отдельным действием и не прибавлять его руками, а сразу умножать на нужный коэффициент: так меньше шансов ошибиться в арифметике.

• Наценка 60%: 40 · 1,6 = 64
• Скидка 25%: 1200 · 0,75 = 900
• НДС 20%: 1000 · 1,2 = 1200
• Одно умножение на коэффициент

Сколько это процентов и как вернуть исходное число

Чтобы узнать, сколько процентов одно число составляет от другого, делят первое на второе и умножают на 100. Скажем, 30 деталей из 120 — это 30/120 · 100 = 25%. По той же логике считают, «на сколько процентов» изменилась величина: футболка стоила 800 рублей, стала 680, снижение равно (800 − 680)/800 · 100 = 15%.

Отдельный тип — восстановить исходное число по изменённому. Если после скидки 20% товар стоит 960 рублей, это составляет 80% от старой цены. Значит, исходная цена равна 960 / 0,8 = 1200 рублей. Обратно нужно делить на коэффициент, а не прибавлять те же 20% — иначе ответ будет неверным.

• Доля в процентах: A/B · 100
• 30 из 120 = 25%
• Снижение цены: (800 − 680)/800 = 15%
• Исходная цена: 960 / 0,8 = 1200

Почему проценты нельзя складывать напрямую

Частая ловушка: цену подняли на 10%, а потом снизили на 10% — кажется, что она вернулась к исходной. Это не так. Пусть товар стоил 1000 рублей: после повышения он стоит 1100, после снижения на 10% от новой цены — 1100 · 0,9 = 990 рублей. Итог не 0, а минус 1%.

Причина в том, что второй процент считается уже от новой базы, а не от начальной. Поэтому последовательные изменения не складывают, а перемножают коэффициенты: 1,1 · 0,9 = 0,99. Это правило работает для любых цепочек скидок и наценок.

• +10%, потом −10% → 1,1 · 0,9 = 0,99
• Итог −1%, а не 0
• Процент считается от новой базы
• Последовательные изменения перемножают, а не складывают

Части, доли и концентрация растворов

Задачи на смеси и растворы — это те же проценты, только про долю вещества. Концентрация равна массе вещества, делённой на массу всего раствора. В 200 граммах раствора с концентрацией соли 15% содержится 200 · 0,15 = 30 граммов соли.

Ключевая идея разбавления: масса самого вещества не меняется, меняется только общая масса. Если к нашему раствору долить 100 граммов воды, соли по-прежнему 30 граммов, а раствора стало 300 граммов. Новая концентрация равна 30/300 = 0,1, то есть 10%. Отслеживай отдельно «сколько вещества» и «сколько всего» — и задача рассыпается на простые дроби.

• Концентрация = вещество / раствор
• 200 · 0,15 = 30 г соли
• Долили 100 г воды → 300 г раствора
• Новая концентрация: 30/300 = 10%

Типичные ошибки и самопроверка

Больше всего ошибок — от сложения процентов там, где их надо перемножать, и от неправильно выбранной базы: процент берут не от того числа. Ещё путают «на сколько процентов» (разность, делённая на исходное) и «во сколько раз» (отношение чисел) — это разные вопросы с разными ответами.

Проверить себя легко: подставь найденное число обратно в условие. Если исходная цена, увеличенная или уменьшенная по условию, даёт то, что указано в задаче, — ответ верный. И помни, что при последовательных скидках и наценках итоговый коэффициент — это произведение всех промежуточных.