Дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка: что это

Дифференциальное уравнение первого порядка связывает неизвестную функцию y(x), её производную y′ и переменную x. Решить уравнение значит найти саму функцию y(x), которая обращает равенство в тождество. Общее решение содержит произвольную постоянную C и описывает целое семейство функций.

Если задано начальное условие, например y(0) = 1, из него находят конкретное значение C и получают частное решение — одну функцию из семейства. Задачу с начальным условием называют задачей Коши.

Порядок уравнения — это наибольший порядок входящей в него производной. Здесь речь только о первом порядке: старше y′ ничего не встречается. Это самый частый тип на первом курсе, и почти каждый метод в итоге сводит задачу к взятию интеграла.

Как определить тип уравнения

Метод решения зависит от типа, поэтому классификация — обязательный первый шаг. Четыре основных типа первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные и уравнения Бернулли. У каждого своя стандартная замена или преобразование.

Смотри на правую часть после того, как выразил y′. Если она распадается на множители, зависящие отдельно от x и отдельно от y, — переменные разделяются. Если её можно записать как функцию отношения y/x — уравнение однородное. Если y и y′ входят линейно, без произведений и степеней y, — уравнение линейное. Если к линейному виду добавляется множитель yⁿ — это Бернулли.

• Разделяющиеся: y′ = f(x)·g(y)
• Однородные: y′ = f(y/x)
• Линейные: y′ + p(x)·y = q(x)
• Бернулли: y′ + p(x)·y = q(x)·yⁿ

Уравнения с разделяющимися переменными

Самый простой тип. Производную записывают как y′ = dy/dx и разносят переменные по разным сторонам: всё, что с y, — налево, всё, что с x, — направо. После этого интегрируют обе части.

Решим y′ = 2xy. Записываем dy/dx = 2xy и делим на y: dy/y = 2x dx. Интегрируем обе части: ln|y| = x² + C. Отсюда y = C₁·e^(x²), где C₁ — новая положительная постоянная. Проверка: y′ = C₁·e^(x²)·2x = 2x·y. Совпадает.

При делении на y теряется решение y = 0 — его проверяют отдельно, и здесь оно тоже подходит. Забытые нулевые решения — типичная ошибка в этом типе.

• Запиши y′ как dy/dx
• Разнеси x и y по разным сторонам равенства
• Проинтегрируй обе части
• Проверь отдельно решения, потерянные при делении

Однородные уравнения

Уравнение однородное, если правую часть удаётся выразить через отношение y/x, то есть y′ = f(y/x). Такое уравнение сводят к разделяющимся заменой u = y/x, то есть y = u·x. Тогда по правилу производной произведения y′ = u + x·u′.

Решим y′ = (x + y)/x. Правая часть равна 1 + y/x, значит уравнение однородное. Подставляем y = u·x и y′ = u + x·u′: u + x·u′ = 1 + u. Сокращаем u и получаем x·u′ = 1, то есть du = dx/x. Интегрируем: u = ln|x| + C. Возвращаемся к y: y/x = ln|x| + C, откуда y = x·(ln|x| + C).

Проверка: y = x·ln|x| + C·x, тогда y′ = ln|x| + 1 + C. Правая часть 1 + y/x = 1 + ln|x| + C. Левая и правая части равны, решение верное.

• Убедись, что правая часть зависит только от y/x
• Сделай замену y = u·x, y′ = u + x·u′
• Получи уравнение с разделяющимися переменными относительно u
• Реши его и вернись к y = u·x

Линейные уравнения первого порядка

Линейное уравнение имеет вид y′ + p(x)·y = q(x): и y, и y′ входят в первой степени, произведений и степеней y нет. Стандартный способ — умножить уравнение на интегрирующий множитель μ(x) = e^(∫ p dx), после чего левая часть сворачивается в производную произведения (μ·y)′.

Решим y′ + y = x. Здесь p = 1, множитель μ = e^(∫ 1 dx) = e^x. Умножаем уравнение на e^x: e^x·y′ + e^x·y = x·e^x. Левая часть — это (e^x·y)′. Значит (e^x·y)′ = x·e^x. Интеграл справа берём по частям: ∫ x·e^x dx = e^x·(x − 1) + C. Тогда e^x·y = e^x·(x − 1) + C, откуда y = (x − 1) + C·e^(−x).

Проверка: y′ = 1 − C·e^(−x), и y′ + y = (1 − C·e^(−x)) + (x − 1 + C·e^(−x)) = x. Равенство выполняется, значит ответ верный.

• Приведи к виду y′ + p(x)·y = q(x)
• Найди множитель μ = e^(∫ p dx)
• Умножь на μ и сверни левую часть в (μ·y)′
• Проинтегрируй и вырази y

Уравнения Бернулли

Уравнение Бернулли отличается от линейного множителем yⁿ в правой части: y′ + p(x)·y = q(x)·yⁿ, где n ≠ 0 и n ≠ 1. Его сводят к линейному заменой z = y¹⁻ⁿ. После замены получается обычное линейное уравнение относительно z, которое решают интегрирующим множителем.

Например, y′ + y = x·y². Здесь n = 2, поэтому берём замену z = y¹⁻² = 1/y. Делим уравнение на y² и подставляем z: получается линейное уравнение z′ − z = −x. Решив его как линейное и вернувшись к y = 1/z, находим ответ.

На практике часто удобнее не заучивать формулу замены, а просто поделить уравнение на yⁿ и увидеть, что при z = y¹⁻ⁿ оно становится линейным относительно z.

• Проверь, что справа стоит q(x)·yⁿ при n ≠ 0 и n ≠ 1
• Сделай замену z = y¹⁻ⁿ
• Приведи уравнение к линейному относительно z
• Реши линейное уравнение и вернись к y

Проверка подстановкой и типичные ошибки

Любое решение проверяют одинаково: подставляют найденную функцию и её производную в исходное уравнение. Если левая часть тождественно равна правой при всех допустимых x — решение верное. Такая проверка ловит и потерянный знак, и ошибку в интегрировании.

Типичные ошибки на этой теме. Первая — неверно определённый тип, из-за чего применяют не ту замену. Вторая — потеря решений при делении на y или на другое выражение: перед делением отметь, где оно обращается в ноль. Третья — забытая постоянная C или её потеря при обратной замене.

Резюме. Сначала классифицируй уравнение, затем применяй стандартную схему для своего типа, не забывай про C и проверяй ответ подстановкой. Четыре типа первого порядка — разделяющиеся, однородные, линейные и Бернулли — покрывают почти все задачи вводного курса.

• Определи тип до выбора метода
• Следи за делением на выражения, равные нулю
• Не теряй постоянную C
• Проверяй ответ подстановкой в исходное уравнение