Экономические задачи ЕГЭ

Что проверяет экономическая задача ЕГЭ

Экономическая (финансовая) задача — это текст про кредит, вклад или бизнес-план, который нужно перевести на язык математики: долг, процент, платёж. На профиле это обычно задание 16 и 2 балла. Формул тут минимум, а главная работа — аккуратно записать, что происходит со счётом в каждый момент времени.

Почти все задачи сводятся к двум схемам погашения кредита. При аннуитетной схеме каждый месяц или год платят одну и ту же сумму. При дифференцированной — тело долга гасят равными частями, а проценты каждый раз считают на текущий остаток, поэтому платежи убывают. Ещё встречаются вклады и задачи на оптимальный выбор, но логика везде одна: запиши состояние долга по датам.

• Обычно задание 16, 2 балла
• Аннуитет — равные платежи
• Дифференцированная схема — равные части тела долга
• Ключ к решению — состояние долга по шагам

Как записывать состояние долга по шагам

Договоримся об обозначениях. Пусть процент за период равен p, тогда за период долг умножается на коэффициент k = 1 + p/100. Например, при 10% это k = 1,1. Один шаг расчёта всегда состоит из двух событий: сначала на долг начисляют процент, затем вносят платёж X. В формуле это «новый долг = старый долг · k − X».

Порядок принципиален: в стандартных задачах процент начисляют на текущий остаток и только потом вычитают платёж. Если записывать состояние долга строкой за строкой по датам, ошибиться почти невозможно — видно, на какую сумму начисляется процент в каждый момент.

• Коэффициент за период k = 1 + p/100
• Шаг: долг · k − платёж
• Сначала процент, потом платёж
• Веди запись долга по датам

Дифференцированные платежи: разбор с процентами

При дифференцированной схеме тело долга делят на равные части. Возьмём кредит 1 200 000 рублей на 12 месяцев под 2% в месяц. Тело гасят по 1 200 000 / 12 = 100 000 рублей ежемесячно, а процент каждый месяц начисляют на остаток долга.

В первый месяц долг равен 1 200 000, процент 2% — это 24 000, платёж 100 000 + 24 000 = 124 000 рублей. В последний месяц остаётся 100 000, процент 2 000, платёж 102 000. Остатки перед начислением процента убывают на 100 000: 1 200 000, 1 100 000, …, 100 000. Их сумма равна 100 000 · (12 + 11 + … + 1) = 100 000 · 78 = 7 800 000.

Все проценты вместе — это 2% от этой суммы: 0,02 · 7 800 000 = 156 000 рублей. Значит, вернуть придётся 1 200 000 + 156 000 = 1 356 000, а переплата составит 156 000 рублей. Общий приём такой: переплата по дифференцированной схеме — это процент, умноженный на сумму всех остатков долга.

• Тело долга — равными частями
• Процент — на текущий остаток
• Сумма остатков: 100 000 · 78 = 7 800 000
• Переплата: 0,02 · 7 800 000 = 156 000 рублей

Аннуитетные платежи: равные суммы и как найти платёж

При аннуитете каждый период платят одинаковую сумму X, и после последнего платежа долг должен обнулиться. Запишем это рекуррентно. Если долг равен S, а за период он растёт в k раз, то после первого платежа остаётся S·k − X, после второго — (S·k − X)·k − X, и так далее. Приравняв долг после n-го платежа к нулю и свернув геометрическую прогрессию, получаем X = S · kⁿ · (k − 1) / (kⁿ − 1).

Проверим на числах. Кредит 2 100 000 рублей под 10% годовых нужно погасить двумя равными годовыми платежами. Здесь k = 1,1, n = 2, значит X = 2 100 000 · 1,21 · 0,1 / 0,21 = 1 210 000 рублей. Пройдём по датам: после первого года долг 2 100 000 · 1,1 − 1 210 000 = 1 100 000; после второго 1 100 000 · 1,1 − 1 210 000 = 0. Долг закрылся ровно в срок.

Итого выплачено 2 · 1 210 000 = 2 420 000 рублей, переплата 320 000. Если формула пугает, её не обязательно помнить наизусть: на экзамене платёж часто обозначают буквой X и находят из условия «долг после последнего платежа равен нулю», решив обычное уравнение.

• Платёж одинаков каждый период
• X = S · kⁿ · (k − 1) / (kⁿ − 1)
• Пример: X = 1 210 000 рублей
• Долг обнуляется ровно после последнего платежа

Вклады и проценты: чем отличаются от кредита

Во вкладе роли меняются: банк должен вам, и сумма на счёте растёт. При простых процентах доход каждый период считают от первоначального взноса, при сложных, с капитализацией, — от накопленной суммы, поэтому проценты «набегают на проценты». Одна и та же ставка при капитализации даёт больше.

Схема записи та же, что у кредита: сумма умножается на k = 1 + p/100 за период, а пополнения прибавляются. Главное — не перепутать, начисляется процент до или после пополнения, это меняет ответ. Как и в кредите, спасает запись состояния счёта по датам.

• Вклад растёт, кредит гасится — схема записи одна
• Простые проценты — от первоначальной суммы
• Сложные проценты — с капитализацией, дохода больше
• Следи, когда именно начисляется процент

Типичные ошибки в экономических задачах

Ошибка номер один — начислять процент на первоначальную сумму каждый период, когда по условию он идёт на текущий остаток. Из-за этого переплата раздувается, и ответ рушится. Всегда смотри, на какую именно сумму начисляется процент в данный момент.

Дальше — путаница с порядком (платёж внесли до или после начисления процента) и ошибка на единицу в числе периодов: за n платежей проходит ровно n начислений, а не n − 1 или n + 1. Отдельно считают переплату: это сумма всех платежей минус тело кредита, а не последний остаток долга.

• Процент — на остаток, а не на исходную сумму
• Не путай порядок: процент и платёж
• Считай периоды без ошибки на единицу
• Переплата = все платежи − тело кредита

Как проверить себя

Главная проверка — прогнать найденный платёж по датам и убедиться, что долг обнулился ровно в конце срока, не раньше и не позже. Если после последнего платежа осталась «копейка» или, наоборот, вышел минус, где-то ошибка в схеме или в арифметике.

Второй контроль — здравый смысл. Переплата не бывает отрицательной и обычно составляет заметную, но не абсурдную долю кредита. Суммы в задачах ЕГЭ подбирают так, чтобы расчёты сходились без грубых округлений, поэтому «некрасивый» промежуточный результат — повод перепроверить шаг.