Профильная математика · вероятность
Теория вероятностей на ЕГЭ
Почти всё задание 4 сводится к одной дроби: сколько исходов нам подходит, поделить на то, сколько исходов всего.
Содержание
Что такое вероятность и как её считать
В основе задания 4 лежит классическое определение вероятности: это доля благоприятных исходов среди всех равновозможных. Записывают его дробью P = m / n, где m — число исходов, которые нас устраивают, а n — общее число равновозможных исходов. Слово «равновозможные» здесь ключевое: формула работает, только когда ни один исход не выделен, как грани честной кости или билеты в стопке.
Вероятность всегда лежит между нулём и единицей: невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1, а всё остальное — где-то посередине. В ответе на ЕГЭ обычно получается аккуратная десятичная дробь. Например, при броске кубика чётное число выпадает в трёх случаях из шести, то есть P = 3/6 = 0,5.
Держи в голове
- P = m / n
- Все исходы равновозможны
- 0 ≤ P ≤ 1
- Ответ — десятичная дробь
Классическая вероятность: аккуратно считаем исходы
Главная работа в простых задачах — правильно сосчитать m и n. Возьмём типовое условие: на экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3. Тогда выученных билетов 22, и вероятность вытянуть знакомый билет равна 22/25 = 0,88. Здесь исходов всего 25, благоприятных — 22, и дробь считается напрямую.
Иногда исходы приходится выписывать. При броске двух игральных костей всего получается 6 · 6 = 36 равновозможных пар. Сумма 8 очков даёт пять пар: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3) и (6; 2). Значит, вероятность равна 5/36 ≈ 0,14. Ошибка почти всегда прячется именно в подсчёте: пропущенная или лишняя пара сразу ломает ответ.
Держи в голове
- Билеты: 22/25 = 0,88
- Две кости — 36 равновозможных пар
- Сумма 8 очков — 5 пар из 36
- Считай исходы, а не прикидывай на глаз
Противоположное событие и слово «хотя бы»
Если событие A случается с вероятностью P(A), то противоположное ему (то, что A не произошло) имеет вероятность 1 − P(A). Этот приём выручает, когда в условии встречается «хотя бы один»: считать напрямую долго, а через противоположное — быстро.
Пример: стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7, делает три независимых выстрела, и нужно найти вероятность хотя бы одного попадания. Проще посчитать вероятность трёх промахов: 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027. Тогда хотя бы одно попадание случится с вероятностью 1 − 0,027 = 0,973.
Держи в голове
- P(не A) = 1 − P(A)
- «Хотя бы один» = 1 − «ни одного»
- Три промаха: 0,3³ = 0,027
- Хотя бы одно попадание: 0,973
Умножение вероятностей: независимые события
Когда нужно, чтобы произошло и одно событие, и другое, а они независимы (исход первого не влияет на второй), вероятности перемножают: P(A и B) = P(A) · P(B). Слово-подсказка здесь — «и».
Пусть вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Тогда годной она оказывается с вероятностью 0,98. Фонарику нужны две исправные батарейки, события независимы, поэтому вероятность, что обе годны, равна 0,98 · 0,98 = 0,9604. Проверять независимость важно: если исходы связаны, простое умножение уже не годится.
Держи в голове
- Независимые: P(A и B) = P(A) · P(B)
- «И» — перемножаем
- Годна: 1 − 0,02 = 0,98
- Обе батарейки: 0,98² = 0,9604
Сложение вероятностей и формула полной вероятности
Если события несовместны (не могут случиться одновременно) и вопрос стоит про «или одно, или другое», вероятности складывают: P(A или B) = P(A) + P(B). Слово-подсказка — «или».
На умножении и сложении держится и более сложная задача на вероятность, которая на экзамене идёт отдельным номером, — формула полной вероятности. Пусть первый цех делает 60% лампочек с браком 1%, а второй — 40% с браком 2%. Вероятность купить бракованную лампочку равна 0,6 · 0,01 + 0,4 · 0,02 = 0,006 + 0,008 = 0,014. Каждое слагаемое — это «попал на такой цех И там брак», а между собой случаи несовместны, поэтому их складывают.
Держи в голове
- Несовместные: P(A или B) = P(A) + P(B)
- «Или» — складываем
- Полная вероятность: 0,6·0,01 + 0,4·0,02
- Итог 0,014
Типичные ошибки и самопроверка
Чаще всего баллы теряются на путанице «и» и «или»: там, где события должны наступить вместе, вероятности умножают, а где достаточно одного из несовместных — складывают. Второй источник ошибок — подсчёт исходов: легко потерять пару при броске костей или неверно определить число благоприятных случаев.
Проверить себя помогает здравый смысл: вероятность не бывает больше 1 и меньше 0. Если в ответе получилось 1,2 или отрицательное число — где-то сложили вместо умножения или перепутали m и n. Ещё один контроль: вероятности события и противоположного ему в сумме дают ровно 1.
Теперь твоя очередь
Проверь, как ты понял тему
Реши задания, проверь ответ и посмотри объяснение каждого шага.
Задание 01
В коробке лежат 6 белых и 9 чёрных шаров. Наугад достают один шар. Найди вероятность того, что он белый.
Задание 02
Два стрелка независимо стреляют по мишени. Первый попадает с вероятностью 0,8, второй — с вероятностью 0,7. Найди вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один из них.
Задание 03
Монету бросают три раза. Найди вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.
Задание 04
Завод выпускает деталь на двух линиях. Линия A даёт 30% всей продукции и 2% брака, линия B — 70% продукции и 1% брака. Найди вероятность того, что случайно взятая деталь бракованная.
Частые вопросы
Программа темы сверяется с официальным источником: Навигатор самостоятельной подготовки к ЕГЭ ФИПИ.
Была полезна статья?
Поделиться статьёй
