Теория вероятностей на ЕГЭ

Что такое вероятность и как её считать

В основе задания 4 лежит классическое определение вероятности: это доля благоприятных исходов среди всех равновозможных. Записывают его дробью P = m / n, где m — число исходов, которые нас устраивают, а n — общее число равновозможных исходов. Слово «равновозможные» здесь ключевое: формула работает, только когда ни один исход не выделен, как грани честной кости или билеты в стопке.

Вероятность всегда лежит между нулём и единицей: невозможное событие имеет вероятность 0, достоверное — 1, а всё остальное — где-то посередине. В ответе на ЕГЭ обычно получается аккуратная десятичная дробь. Например, при броске кубика чётное число выпадает в трёх случаях из шести, то есть P = 3/6 = 0,5.

• P = m / n
• Все исходы равновозможны
• 0 ≤ P ≤ 1
• Ответ — десятичная дробь

Классическая вероятность: аккуратно считаем исходы

Главная работа в простых задачах — правильно сосчитать m и n. Возьмём типовое условие: на экзамене 25 билетов, Сергей не выучил 3. Тогда выученных билетов 22, и вероятность вытянуть знакомый билет равна 22/25 = 0,88. Здесь исходов всего 25, благоприятных — 22, и дробь считается напрямую.

Иногда исходы приходится выписывать. При броске двух игральных костей всего получается 6 · 6 = 36 равновозможных пар. Сумма 8 очков даёт пять пар: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3) и (6; 2). Значит, вероятность равна 5/36 ≈ 0,14. Ошибка почти всегда прячется именно в подсчёте: пропущенная или лишняя пара сразу ломает ответ.

• Билеты: 22/25 = 0,88
• Две кости — 36 равновозможных пар
• Сумма 8 очков — 5 пар из 36
• Считай исходы, а не прикидывай на глаз

Противоположное событие и слово «хотя бы»

Если событие A случается с вероятностью P(A), то противоположное ему (то, что A не произошло) имеет вероятность 1 − P(A). Этот приём выручает, когда в условии встречается «хотя бы один»: считать напрямую долго, а через противоположное — быстро.

Пример: стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,7, делает три независимых выстрела, и нужно найти вероятность хотя бы одного попадания. Проще посчитать вероятность трёх промахов: 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,027. Тогда хотя бы одно попадание случится с вероятностью 1 − 0,027 = 0,973.

• P(не A) = 1 − P(A)
• «Хотя бы один» = 1 − «ни одного»
• Три промаха: 0,3³ = 0,027
• Хотя бы одно попадание: 0,973

Умножение вероятностей: независимые события

Когда нужно, чтобы произошло и одно событие, и другое, а они независимы (исход первого не влияет на второй), вероятности перемножают: P(A и B) = P(A) · P(B). Слово-подсказка здесь — «и».

Пусть вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,02. Тогда годной она оказывается с вероятностью 0,98. Фонарику нужны две исправные батарейки, события независимы, поэтому вероятность, что обе годны, равна 0,98 · 0,98 = 0,9604. Проверять независимость важно: если исходы связаны, простое умножение уже не годится.

• Независимые: P(A и B) = P(A) · P(B)
• «И» — перемножаем
• Годна: 1 − 0,02 = 0,98
• Обе батарейки: 0,98² = 0,9604

Сложение вероятностей и формула полной вероятности

Если события несовместны (не могут случиться одновременно) и вопрос стоит про «или одно, или другое», вероятности складывают: P(A или B) = P(A) + P(B). Слово-подсказка — «или».

На умножении и сложении держится и более сложная задача на вероятность, которая на экзамене идёт отдельным номером, — формула полной вероятности. Пусть первый цех делает 60% лампочек с браком 1%, а второй — 40% с браком 2%. Вероятность купить бракованную лампочку равна 0,6 · 0,01 + 0,4 · 0,02 = 0,006 + 0,008 = 0,014. Каждое слагаемое — это «попал на такой цех И там брак», а между собой случаи несовместны, поэтому их складывают.

• Несовместные: P(A или B) = P(A) + P(B)
• «Или» — складываем
• Полная вероятность: 0,6·0,01 + 0,4·0,02
• Итог 0,014

Типичные ошибки и самопроверка

Чаще всего баллы теряются на путанице «и» и «или»: там, где события должны наступить вместе, вероятности умножают, а где достаточно одного из несовместных — складывают. Второй источник ошибок — подсчёт исходов: легко потерять пару при броске костей или неверно определить число благоприятных случаев.

Проверить себя помогает здравый смысл: вероятность не бывает больше 1 и меньше 0. Если в ответе получилось 1,2 или отрицательное число — где-то сложили вместо умножения или перепутали m и n. Ещё один контроль: вероятности события и противоположного ему в сумме дают ровно 1.