Квадратные уравнения

Что такое квадратное уравнение и как привести его к виду ax² + bx + c = 0

Квадратное уравнение — это равенство вида ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а главное условие: a ≠ 0. Если a равно нулю, слагаемое с x² пропадает, и уравнение становится линейным. Числа называют коэффициентами: a — старший, b — второй, c — свободный член.

На экзамене уравнение редко дают сразу в готовом виде: обычно есть скобки, дроби или x² по обе стороны. Сначала перенеси всё в одну сторону, чтобы справа остался ноль, раскрой скобки и приведи подобные. Например, из (x − 1)(x + 4) = 6 получаем x² + 3x − 4 = 6, то есть x² + 3x − 10 = 0. Теперь видно: a = 1, b = 3, c = −10.

Когда a = 1, уравнение называют приведённым — с ним удобно работать по теореме Виета. Знак коэффициента выписывай вместе с числом: если перед x стоит минус, значит b отрицательный. Именно здесь чаще всего теряют баллы, поэтому первый шаг делай не спеша.

Как решать квадратное уравнение через дискриминант

Универсальный способ подходит к любому квадратному уравнению — через дискриминант. Его считают по формуле D = b² − 4ac. Дискриминант показывает, сколько у уравнения корней, ещё до того как ты их найдёшь.

Если D больше нуля, корней два, и их находят по формуле x = (−b ± √D) / (2a). Знак «плюс-минус» означает, что нужно посчитать два значения: сначала с плюсом, потом с минусом. В числителе всегда стоит −b, а делить нужно на 2a, а не просто на 2.

Разберём x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант: D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Он положительный — значит корня два. Извлекаем √D = 1 и считаем x = (5 ± 1)/2. Получаем x₁ = (5 + 1)/2 = 3 и x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Подставим обратно: 3² − 5·3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 — верно.

• Привести к виду ax² + bx + c = 0
• Выписать коэффициенты a, b, c со знаками
• Посчитать D = b² − 4ac
• Сравнить D с нулём и найти корни по формуле
• Подставить корни обратно для проверки

Три случая дискриминанта: два корня, один или ни одного

Знак дискриминанта решает всё. При D > 0 корня два, и они разные — как в примере x² − 5x + 6 = 0 выше.

При D = 0 корень один, а формула упрощается до x = −b/(2a). Например, в x² − 6x + 9 = 0 дискриминант D = (−6)² − 4·1·9 = 36 − 36 = 0, поэтому x = 6/2 = 3 — единственный корень. Такое уравнение — это полный квадрат: x² − 6x + 9 = (x − 3)².

При D < 0 действительных корней нет: под корнем оказалось бы отрицательное число, а извлечь его нельзя. Пример: x² + x + 1 = 0, здесь D = 1 − 4 = −3. Ответ «корней нет» — это полноценный правильный ответ, а не признак ошибки.

Когда старший коэффициент не равен единице, действуем точно так же. Возьмём 2x² + 5x − 3 = 0: a = 2, b = 5, c = −3. Дискриминант D = 5² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49, значит √D = 7. Тогда x = (−5 ± 7)/(2·2) = (−5 ± 7)/4, откуда x₁ = 2/4 = 0,5 и x₂ = −12/4 = −3.

Неполные квадратные уравнения: решаем без дискриминанта

Если b или c равны нулю, уравнение называют неполным, и дискриминант считать не нужно — есть путь короче.

Когда нет свободного члена (c = 0), выноси x за скобку. Например, 3x² − 12x = 0 превращается в x(3x − 12) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей ноль: x = 0 или 3x − 12 = 0, то есть x = 4. Корней всегда два, и один из них — ноль. Частая ошибка тут — сократить обе части на x и потерять корень x = 0; так делать нельзя.

Когда нет слагаемого с x (b = 0), переноси свободный член вправо. Например, x² − 9 = 0 даёт x² = 9, откуда x = ±3. Если справа получается отрицательное число, как в x² + 4 = 0 (то есть x² = −4), корней нет — квадрат числа не бывает отрицательным.

Теорема Виета: когда подбор корней быстрее дискриминанта

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0, где старший коэффициент равен единице, работает теорема Виета: сумма корней равна −p, а произведение равно q. Коротко: x₁ + x₂ = −p и x₁ · x₂ = q.

Это способ подобрать корни в уме, когда они целые. Возьмём x² − 7x + 12 = 0. Сумма корней равна 7 (это −p, а сам p = −7), произведение равно 12. Ищем два числа, дающих в сумме 7, а в произведении 12: это 3 и 4. Корни найдены без всякого дискриминанта.

Главная ловушка — знак суммы: она равна именно −p, а не p. В нашем примере p = −7, поэтому сумма 7, а не −7. Если уравнение не приведённое, сначала раздели всё на старший коэффициент a — тогда сумма корней равна −b/a, а произведение c/a.

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Если корни x₁ и x₂ найдены, квадратный трёхчлен раскладывают по формуле ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Это нужно, чтобы сократить дробь или решить уравнение более высокой степени.

Для x² − 5x + 6 корни равны 2 и 3, поэтому x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3). Проверить легко раскрытием: (x − 2)(x − 3) = x² − 3x − 2x + 6 = x² − 5x + 6. Обрати внимание: в скобках число стоит с обратным знаком к корню — корень 2 даёт множитель (x − 2).

Когда a ≠ 1, множитель a остаётся впереди. Для 2x² + 5x − 3 с корнями 0,5 и −3 получаем 2(x − 0,5)(x + 3), что то же самое, что (2x − 1)(x + 3). Если дискриминант отрицательный, на множители с рациональными числами трёхчлен не раскладывается.

Частые ошибки со знаками и как проверить корни

Самая частая ошибка — знаки при возведении b в квадрат. Значение b² всегда неотрицательно: если b = −5, то b² = 25, а не −25. А выражение −4ac при отрицательном c становится положительным — именно поэтому в 2x² + 5x − 3 дискриминант вырос до 49, а не уменьшился.

Вторая ловушка — потерять делитель 2a в знаменателе или ошибиться со знаком −b. Держи в голове схему: в числителе всегда −b плюс-минус корень, а делишь на 2a.

Проверять корни просто: подставь каждый обратно в исходное уравнение — должен получиться ноль. Или примени теорему Виета: для x² − 5x + 6 корни 3 и 2 дают сумму 5 (равно −b) и произведение 6 (равно c) — всё сходится. Калькулятора на ОГЭ нет, поэтому такая проверка в уме экономит и баллы, и нервы.