Интегралы: методы и пошаговые решения

Неопределённый интеграл: ключевая идея и зачем нужна C

Неопределённый интеграл ∫ f(x) dx — это множество всех функций, производная которых равна f(x). Такую функцию называют первообразной. Например, для f(x) = 2x первообразная — это x², потому что (x²)′ = 2x. Но x² + 5 и x² − 7 тоже подходят: производная любой константы равна нулю.

Поэтому в ответе всегда пишут произвольную постоянную: ∫ 2x dx = x² + C. Пропущенная C — самая частая и самая обидная ошибка в неопределённых интегралах, за неё снимают балл даже при верном остальном решении.

У интегрирования нет универсального алгоритма, как у дифференцирования. Здесь работает распознавание: по виду подынтегральной функции подбирают подходящий метод. Чем лучше выучены таблица интегралов и типовые приёмы, тем быстрее видно, что делать.

Таблица основных интегралов

Эти интегралы нужно знать наизусть — на них раскладывается почти любая задача. Во всех формулах подразумевается прибавление константы C, а под логарифмом стоит модуль, чтобы формула работала и при отрицательных значениях.

Полезно помнить и такие строки: ∫ tg x dx = −ln|cos x| + C, ∫ ctg x dx = ln|sin x| + C. Любую формулу таблицы можно проверить дифференцированием — если производная правой части даёт подынтегральную функцию, значит строка запомнена верно.

• ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C при n ≠ −1
• ∫ dx/x = ln|x| + C
• ∫ e^x dx = e^x + C; ∫ a^x dx = a^x/ln a + C
• ∫ sin x dx = −cos x + C; ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ dx/cos²x = tg x + C; ∫ dx/sin²x = −ctg x + C
• ∫ dx/(1 + x²) = arctg x + C
• ∫ dx/√(1 − x²) = arcsin x + C
• ∫ dx/(a² + x²) = (1/a)·arctg(x/a) + C

Метод замены переменной

Замена (подстановка) работает, когда под интегралом видна функция и рядом её производная — хотя бы с точностью до постоянного множителя. Идея простая: обозначить внутреннюю функцию новой буквой t, и тогда громоздкое выражение превращается в табличное.

Разберём ∫ x·e^(x²) dx. Внутри стоит x², её производная равна 2x, а множитель x рядом уже есть. Пусть t = x², тогда dt = 2x dx, откуда x dx = dt/2. Интеграл превращается в (1/2)∫ e^t dt = (1/2)e^t + C = (1/2)e^(x²) + C.

Проверим: ((1/2)e^(x²))′ = (1/2)·e^(x²)·2x = x·e^(x²). Получилась исходная подынтегральная функция, значит замена сделана верно.

• Найди внутреннюю функцию и её производную
• Обозначь t = внутренняя функция
• Вырази dt через dx и подставь
• Возьми табличный интеграл и вернись к переменной x

Интегрирование по частям

Формула: ∫ u dv = u·v − ∫ v du. Её применяют к произведениям функций разного типа: многочлен на экспоненту, многочлен на синус или косинус, а также к ln x и arctg x, которые по отдельности иначе не берутся.

Ключ — удачно выбрать, что взять за u. За u берут функцию, которая при дифференцировании упрощается (многочлен, логарифм, обратную тригонометрию), а всё остальное относят к dv. Тогда новый интеграл ∫ v du оказывается проще исходного.

Пример: ∫ x·e^x dx. Пусть u = x, dv = e^x dx, тогда du = dx, v = e^x. По формуле: x·e^x − ∫ e^x dx = x·e^x − e^x + C = e^x·(x − 1) + C. Проверка: (e^x·(x − 1))′ = e^x·(x − 1) + e^x = x·e^x. Отдельный интеграл ∫ ln x dx тоже берётся по частям: при u = ln x, dv = dx получается x·ln x − x + C.

• Раздели выражение на u и dv
• За u бери то, что упрощается при дифференцировании
• Найди du и v
• Подставь в формулу u·v − ∫ v du

Интегрирование рациональных дробей

Рациональная дробь — это отношение двух многочленов. Если степень числителя меньше степени знаменателя, дробь называют правильной и раскладывают на простейшие. Если степень числителя больше или равна степени знаменателя, дробь сначала делят уголком и выделяют целую часть.

Правильную дробь со знаменателем, разложенным на разные линейные множители, представляют суммой дробей вида A/(x − a). Коэффициенты находят, приравнивая числители при удобных значениях переменной.

Пример: ∫ dx/((x − 1)(x + 2)). Раскладываем 1/((x − 1)(x + 2)) = A/(x − 1) + B/(x + 2). Умножаем на знаменатель: 1 = A(x + 2) + B(x − 1). При x = 1 получаем 1 = 3A, то есть A = 1/3; при x = −2 получаем 1 = −3B, то есть B = −1/3. Тогда интеграл равен (1/3)ln|x − 1| − (1/3)ln|x + 2| + C.

• Проверь, правильная ли дробь; если нет — раздели уголком
• Разложи знаменатель на множители
• Запиши сумму простейших дробей с буквенными коэффициентами
• Найди коэффициенты и проинтегрируй по таблице

Как выбрать метод и проверить ответ

Сначала проверяй самое простое: не является ли интеграл табличным или сводящимся к таблице элементарным преобразованием — вынести множитель, разбить сумму на слагаемые, подвести выражение под знак дифференциала. И только если это не проходит, переходи к тяжёлым методам.

Дальше смотри на структуру. Есть функция и рядом её производная — замена. Произведение функций разного типа — по частям. Отношение многочленов — разложение на дроби. Эти три признака закрывают большинство задач первого курса.

Проверка одинакова для любого метода: продифференцируй полученную первообразную. Совпала производная с подынтегральной функцией — ответ верный. Это надёжнее, чем перепроверять цепочку преобразований, потому что дифференцировать ты умеешь почти без ошибок.

• Табличный интеграл или простое преобразование
• Функция и её производная — замена
• Произведение разных функций — по частям
• Отношение многочленов — рациональные дроби

Разобранный пример: определённый интеграл

Посчитаем определённый интеграл ∫₀¹ x·e^(x²) dx. Первообразную мы уже нашли заменой: (1/2)e^(x²). По формуле Ньютона — Лейбница подставляем границы: (1/2)e^(x²) от 0 до 1 равно (1/2)(e¹ − e⁰) = (1/2)(e − 1).

Числом это примерно (1/2)(2,718 − 1) ≈ 0,859. В определённом интеграле константа C не нужна: при вычитании значений первообразной на границах она всё равно сокращается.

Короткое резюме по теме. Выучи таблицу, научись узнавать три ситуации — под замену, под интегрирование по частям и под рациональные дроби — и всегда проверяй ответ производной. Этого набора достаточно, чтобы уверенно проходить типовые задачи контрольных и коллоквиумов.