Задачи с параметром на ЕГЭ

Что такое задача с параметром и что она проверяет

Параметр — это буква (чаще всего a), которая обозначает число, но заранее неизвестно какое. От её значения зависит не сам ответ уравнения или неравенства, а сколько будет решений и как они расположены. Поэтому в задаче с параметром нужно не «найти x», а описать поведение решения для всех возможных a.

На профиле это традиционно задание 18 и одно из самых дорогих — 4 балла. Ценится не угаданный ответ, а полное исследование: рассмотрены все случаи, обоснованы границы, ничего не потеряно. За пропущенный случай эксперт снимает баллы, даже если остальное решено верно.

• Параметр — число, но неизвестно какое
• Ответ — описание решений для всех a
• Обычно задание 18, 4 балла
• Ценится полное исследование, а не угаданный ответ

Три метода решения задач с параметром

Аналитический метод — прямые преобразования: выражаешь x через a, решаешь уравнение или неравенство и следишь, при каких a меняется картина, например обнуляется коэффициент или дискриминант. Он хорош, когда выражение несложно раскрывается.

Графический метод — рисуешь семейство линий. Часто удобно построить график одной функции и провести прямую y = a: тогда число решений — это число пересечений. Иногда наоборот, параметр выносят на отдельную ось (плоскость xOa) и смотрят, сколько раз кривую пересекает горизонталь.

Функциональный метод опирается на свойства: монотонность, чётность, ограниченность. Если левая часть уравнения не превосходит некоторого числа, а правая не меньше него, равенство возможно только там, где обе равны этому числу. Такой приём часто убирает перебор случаев целиком.

• Аналитический — преобразования и критические a
• Графический — пересечения графика и прямой y = a
• Функциональный — монотонность, чётность, оценки

Алгоритм анализа задачи с параметром

Порядок действий один и тот же независимо от метода. Сначала фиксируешь область допустимых значений: знаменатели, подкоренные выражения, аргументы логарифмов. Потом находишь критические значения параметра — те, при которых меняется число решений: где обнуляется старший коэффициент, где дискриминант проходит через ноль, где графики касаются.

Эти критические значения разбивают числовую ось параметра на промежутки. Внутри каждого промежутка картина решений постоянна, поэтому достаточно исследовать по одному представителю. Границы промежутков проверяешь отдельно — именно на них чаще всего меняется ответ.

• Записать ОДЗ
• Найти критические значения a
• Разбить ось a на промежутки
• Исследовать по одному значению из промежутка
• Отдельно проверить границы
• Собрать ответ по a

Разбор задачи с параметром на числах

Возьмём уравнение x² − 4|x| + 3 = a и спросим: при каких a у него ровно три различных корня. Левая часть — чётная функция, её график симметричен относительно оси y. При x ≥ 0 это парабола x² − 4x + 3 с вершиной в точке (2; −1) и значением 3 в нуле. Отражение влево даёт график в форме буквы W с двумя «ямами» на уровне −1 и «горкой» высотой 3 посередине.

Число корней — это число пересечений графика с горизонтальной прямой y = a. Прогоняем прямую снизу вверх: при a < −1 пересечений нет; при a = −1 прямая касается обоих минимумов — 2 корня; при −1 < a < 3 она режет все четыре ветви — 4 корня; при a = 3 проходит ровно через вершину «горки» и края — 3 корня; при a > 3 остаются только две внешние ветви — 2 корня.

Значит, ровно три корня даёт единственное значение a = 3. Проверим подстановкой: при a = 3 уравнение превращается в x² − 4|x| = 0, то есть |x|·(|x| − 4) = 0, откуда x = 0, x = 4 и x = −4 — ровно три корня. Ответ подтвердился.

• a < −1 — нет корней
• a = −1 — два корня
• −1 < a < 3 — четыре корня
• a = 3 — три корня
• a > 3 — два корня

Ловушки: деление на ноль и границы случаев

Самая частая потеря баллов — деление на выражение, которое может обратиться в ноль. Пусть в ходе решения получилось (a − 2)·x = a² − 4. Если сразу поделить на (a − 2), выйдет x = a + 2, и это верно при a ≠ 2. Но при a = 2 уравнение становится 0·x = 0, у которого решением служит любое x. Пропустив этот случай, теряешь целый пласт ответа.

Вторая ловушка — границы между случаями. Строгое или нестрогое неравенство, «ровно два» против «не менее двух», момент касания графиков — всё это решается именно на границе. Поэтому критические значения параметра проверяют подстановкой отдельно, а не приписывают к соседнему промежутку по инерции.

Третья — забытая ОДЗ. Корень, логарифм или знаменатель могут отсекать часть найденных значений, и ответ, верный «алгебраически», оказывается неверным в исходной задаче.

• Делишь на (a − 2) — разбери отдельно a = 2
• Границы промежутков проверяй подстановкой
• Различай «ровно» и «не менее»
• Не теряй ОДЗ: корень, логарифм, знаменатель

Как проверить себя и оформить решение на экзамене

Проверка проще, чем кажется: возьми по одному конкретному значению параметра из каждого промежутка и реши обычное уравнение с этим числом. Если число решений совпало с тем, что ты записал для промежутка, разбор верен. Отдельно подставь граничные значения — они не должны «выпадать».

В чистовике ответ группируют по параметру: при таких-то a — столько-то решений или сами решения через a. Эксперт хочет видеть, что рассмотрены все случаи и обоснован каждый переход. Даже правильный итог без разбора случаев оценивают не полным баллом, поэтому логику решения проговаривают письменно, а не держат в голове.