Какие формулы для ЕГЭ по профильной математике выучить наизусть
Наизусть стоит знать короткий минимум: формулы сокращённого умножения, свойства степеней и логарифмов, корни квадратного уравнения, основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла, таблицу производных, теоремы синусов и косинусов, площади и объёмы основных фигур. Всё остальное — формулы приведения, понижения степени, суммы прогрессий — быстрее вывести из этого минимума. А закрепляются формулы не листком на стене, а задачами, где их приходится доставать из памяти.
Знаю, как решать, но забыл формулу: почему так происходит
Знакомая картина: на пробнике открываешь задание, сразу видишь, что тут нужна формула двойного угла или объём конуса, и понимаешь, что не помнишь, где там стоит двойка, а где треть. Решение в голове есть, а одного кирпичика нет. Минут пять уходит на попытки вспомнить, потом задание пропускаешь, и обиднее всего то, что потерял его не из-за незнания темы, а из-за одной строчки.
Причина почти всегда в том, как формулы учились. Их читали глазами с листка, а доставать из памяти без подсказки не тренировались. Узнавание и воспроизведение — разные навыки: увидев формулу, ты уверен, что её знаешь, но на экзамене никто её не покажет. Вторая причина — формулы учились отдельно от задач, поэтому в голове нет связки «вижу такое условие — достаю такую формулу».
Третья причина — стресс. На пробнике и тем более на экзамене память работает хуже, чем дома за столом, и первым вылетает то, что держалось на зубрёжке. Поэтому цель не в том, чтобы выучить побольше, а в том, чтобы минимум сидел прочно, а остальное ты умел быстро восстановить. Дальше разберём этот минимум по блокам и способы вывести забытое за минуту.
Алгебра: формулы, без которых не решить даже простые задания
Начни с формул сокращённого умножения: квадрат суммы и разности (a ± b)² = a² ± 2ab + b² и разность квадратов a² − b² = (a − b)(a + b). Они встречаются везде — в упрощении выражений, в уравнениях, в производных. Сумму и разность кубов тоже полезно знать, но их проще проверить раскрытием скобок, чем зубрить отдельно, тем более что встречаются они реже.
Дальше — степени и корни: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, при возведении степени в степень — перемножаются, отрицательная степень означает дробь, а корень — это степень с дробным показателем. Квадратное уравнение решается через дискриминант D = b² − 4ac и корни x = (−b ± √D) / 2a. Теорему Виета держи как способ быстро проверить найденные корни.
Логарифмы пугают сильнее, чем стоят. Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм степени выносит показатель вперёд множителем, а переход к новому основанию делит один логарифм на другой. Сюда же добавь формулы прогрессий: n-й член арифметической a₁ + d(n − 1), её сумма (a₁ + aₙ)·n / 2, n-й член геометрической b₁·qⁿ⁻¹. И классическую вероятность: число благоприятных исходов делить на число всех.
Тригонометрия: что учить, а что достаточно выводить по кругу
В тригонометрии формул много, и именно здесь чаще всего пытаются зубрить всё подряд. Наизусть стоит знать немного: основное тождество sin²x + cos²x = 1, определение тангенса как отношения синуса к косинусу, синус и косинус двойного угла sin 2x = 2 sin x cos x и cos 2x = cos²x − sin²x, а также формулы синуса и косинуса суммы.
Формулы приведения учить не нужно — их заменяет правило. Смотришь, от какой оси откладывается угол: от вертикальной — функция меняется на «кофункцию», от горизонтальной — остаётся прежней. Знак определяешь по четверти на круге для исходной функции. Значения синуса и косинуса для стандартных углов тоже лучше снимать с круга, а не держать таблицей: так их не перепутаешь под стрессом.
Единичная окружность вообще главный инструмент: на ней видно знаки, периодичность и серии решений простейших уравнений. Если круг ты понимаешь, то половина тригонометрических формул превращается из списка в картинку. Подробнее о том, как разобраться с кругом без зубрёжки, есть в отдельной статье про тригонометрию с нуля — ссылка в конце этой.
Производная: таблица и правила, которые нужны на экзамене
Таблица производных для экзамена короткая: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹, производная константы равна нулю, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x. Тангенс и показательную функцию с другим основанием встретишь реже, их можно добавить вторым кругом. Главное — уверенно держать первые шесть строк, на них построено большинство задач на производную.
Правила дифференцирования учи вместе с таблицей. Производная суммы — сумма производных, константа выносится, произведение (uv)' = u'v + uv', частное (u/v)' = (u'v − uv') / v². Для сложной функции производную внешней умножаешь на производную внутренней. В частном чаще всего путают знак и порядок в числителе: запомни, что начинается всё с производной верхней части.
Не забывай смысл производной, а не только формулы. Производная в точке — это угловой коэффициент касательной, а там, где производная меняет знак, у функции экстремум. Эти два факта закрывают задачи на графики, где формулы вообще не нужны, а нужно только понимать, что производная положительна, когда функция растёт, и отрицательна, когда убывает.
Геометрия: площади, теоремы и объёмы тел
В планиметрии основа — теорема Пифагора, теорема косинусов c² = a² + b² − 2ab·cos C и теорема синусов, где отношение стороны к синусу противолежащего угла равно 2R, удвоенному радиусу описанной окружности. Площадь треугольника нужна в трёх видах: половина основания на высоту, половина произведения двух сторон на синус угла между ними и полупериметр на радиус вписанной окружности.
Для четырёхугольников хватает площади параллелограмма как основания на высоту, площади трапеции как полусуммы оснований на высоту и площади ромба как половины произведения диагоналей. Площадь круга — πr², длина окружности — 2πr. Остальное, вроде свойств вписанных углов и подобия, уже не формулы, а теоремы, и учить их полезнее с рисунком перед глазами.
В стереометрии запомни, что объём призмы и цилиндра — площадь основания на высоту, а у пирамиды и конуса добавляется множитель одна треть. Объём шара — 4/3·πR³, площадь сферы — 4πR². Из этих формул строится почти любая задача на тела в первой части. Если хочешь понять, где у геометрии разумная граница, загляни в статью про рабочий минимум теорем.
Как вывести забытую формулу за минуту
Вывод — это страховка на случай, когда память подвела. Забыл косинус двойного угла — возьми формулу косинуса суммы и подставь оба угла равными x: получится cos²x − sin²x. Нужен вариант через синус — замени cos²x на 1 − sin²x из основного тождества и получишь 1 − 2sin²x. Отсюда же за полминуты выражаются формулы понижения степени.
С логарифмами так же. Не помнишь переход к новому основанию — обозначь логарифм буквой t, перепиши по определению как степень и прологарифмируй обе части по нужному основанию. Сумму арифметической прогрессии восстанавливает старый приём: сложи первый член с последним, второй с предпоследним, и увидишь, что все пары одинаковые, а пар ровно n/2.
Любую восстановленную формулу проверяй на простых числах. Сомневаешься в синусе двойного угла — подставь 30 градусов: слева sin 60°, справа 2·½·√3/2, совпало. Не уверен в объёме конуса — вспомни, что конус помещается в цилиндр той же высоты и занимает меньше места, значит, множитель меньше единицы. Такая проверка занимает секунды и спасает от уверенных ошибок.
Как закрепить формулы через задачи, а не через листок на стене
Листок с формулами над столом работает плохо: через неделю глаз перестаёт его замечать. Гораздо полезнее активное вспоминание. Возьми чистый лист и по памяти выпиши все формулы одного блока, потом сверь с учебником и отметь, что забыл или исказил. Забытое повтори завтра, через три дня и через неделю. Такой интервальный повтор занимает минут десять, а держится намного дольше.
Но главное закрепление — задачи. Каждая формула должна быть связана с типом условия: увидел касательную — вспомнил производную, увидел треугольник с углом и двумя сторонами — теорему косинусов. Для этого после повторения блока реши подряд несколько задач на него. Удобно брать их из тренажёров по темам ФИПИ на /ege: там теория и задания по каждой теме бесплатно, а с аккаунтом сохраняется прогресс.
Если не понимаешь, почему формула выглядит именно так, или застрял на выводе, разбор помогает лучше, чем ещё один повтор. ИИ-тренер в «Моём плане» в Telegram объясняет теорию, разбирает твоё решение и составляет план подготовки к экзамену, так что повторение блоков формул встраивается в общий график, а не держится в голове. Начни с тех формул, на которых уже терял задания.
Что делать, если на экзамене формула всё равно вылетела из головы
Сначала не паникуй и не трать на вспоминание больше пары минут. Пропусти задание, отметь его в черновике и реши остальные: часто формула всплывает сама, когда напряжение спадает. Вернувшись, попробуй вывести её из того минимума, что помнишь точно, — тождества, формулы суммы, определения логарифма. Выведенную формулу обязательно проверь подстановкой простого значения.
Если вывести не получается, посмотри, нельзя ли решить задачу иначе. Площадь треугольника можно найти через высоту, а не через синус, производную произведения многочленов — раскрыв скобки и продифференцировав результат почленно. Обходной путь длиннее, но лучше длинное верное решение, чем пустая клетка. Именно для этого и стоит знать по два способа для самых частых ситуаций.
Чтобы такое случалось реже, тренируй вывод формул заранее, а не впервые на экзамене. Пройди блоки по порядку, после каждого реши задачи и через неделю снова выпиши формулы по памяти. Теория и тренажёры по всем темам профильной математики бесплатно лежат на /ege — начни с блока, где формулы чаще всего подводят, и закрепляй их задачами, а не листком на стене.
