Задача на числа ЕГЭ профиль: как решать коротко
Задача на числа стоит последней в профиле, но её первый пункт часто проще, чем кажется. Обычно там вопрос вида «может ли быть так», и ответ «да» доказывается одним удачным примером, а ответ «нет» — короткой ссылкой на делимость или чётность. Прочитай условие, попробуй маленькие числа, найди пример, проверь его по всем условиям и запиши ответ. Для тренировки нужны признаки делимости, остатки, чётность и среднее арифметическое.
Почему последнее задание профиля даже не открывают
Знакомая картина: ты решаешь первую часть, берёшься за пару заданий второй, смотришь на часы и понимаешь, что последнее даже не читал. Оно стоит в конце, выглядит длинным, в нём три пункта и слова «докажите», «найдите наибольшее». Кажется, что это задание для олимпиадников, а тебе туда лучше не соваться. В итоге его пропускают не потому, что не смогли решить, а потому, что даже не попробовали.
Вторая причина — школьная программа почти не учит таким задачам. На уроках решают уравнения по алгоритму, а здесь алгоритма нет: нужно покрутить числа, подумать, где подвох. Без привычки это пугает. Плюс в разборах в интернете часто показывают сразу полное решение всех трёх пунктов на две страницы, и создаётся ощущение, что меньше этого не засчитают. Хотя первый пункт по смыслу самостоятельный, и проверяют его отдельно от остальных.
Третья причина — тайминг. Если ты привык решать задания строго по порядку, на последнее просто не остаётся времени. А ведь первый пункт задачи на числа иногда решается быстрее, чем громоздкое неравенство или стереометрия. Поэтому стоит хотя бы прочитать его заранее, в середине экзамена, и понять, не лежит ли там пример, который находится за десять минут.
Что спрашивают в первом пункте задачи на числа
Задача обычно строится вокруг набора натуральных чисел: их сумма, произведение, среднее арифметическое, количество, свойства делимости. Например, на доске написаны несколько чисел, с ними что-то делают, и нужно ответить на вопросы. Первый пункт почти всегда про конкретный случай: «может ли сумма быть равна такому-то числу», «может ли среди чисел оказаться такое», «возможно ли, что после действия получится то-то».
Второй пункт часто тоже «может ли», но с подвохом: ответ «нет», и его нужно доказать. Третий пункт — обычно «найдите наибольшее» или «наименьшее», где нужен и пример, и оценка, что лучше не бывает. Это уже действительно сложнее, и на него стоит идти, только если остаётся время и есть опыт. А вот первый пункт по сложности ближе к хорошей задаче на смекалку.
Важно понимать: формулировки из года в год меняются, точные критерии проверки публикует ФИПИ, и сверяться лучше с ними, а не с пересказами. Но сам жанр устойчивый — числа, делимость, перебор вариантов. Поэтому тренировка на задачах прошлых лет и из открытого банка заданий работает: ты учишься узнавать типовые ходы и не теряешься, когда видишь незнакомую историю про карточки или учеников с оценками.
Как решать первый пункт перебором и подбором примера
Начни с того, что перепиши условие своими словами на черновике. Что дано, какие ограничения: числа натуральные, различные, их количество, диапазон. Потом подставь самые маленькие и удобные числа и посмотри, что выходит. Не пытайся сразу придумать общую теорию — первый пункт часто сдаётся именно на ручной проверке пары вариантов. Это и есть тот самый «почти перебор», о котором ты слышал.
Разберём условный пример. Можно ли выбрать несколько различных натуральных чисел так, чтобы их сумма была 15, а произведение делилось на 7? Раз произведение делится на 7, среди чисел должно быть число, кратное семи. Берём 7, остаётся добрать 8 до суммы 15. Числа 7 и 8 различные, их сумма 15, произведение 56 делится на 7. Ответ: да, можно. Вся работа заняла пару минут.
Если пример не находится за несколько попыток, проверь, не мешает ли что-то принципиально. Тогда ответ может быть «нет», и его нужно обосновать. Классика: может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть равна 100? Обозначим числа n, n + 1, n + 2, их сумма 3n + 3 делится на 3, а 100 на 3 не делится. Значит, нет. Короткое рассуждение через делимость — и пункт закрыт.
Хорошая привычка — держать рядом список вопросов к самому себе: что будет с чётностью, какие остатки при делении на 3 или на 9, как меняется сумма при замене одного числа, может ли среднее быть дробным. Почти каждая задача на числа ломается одним из этих вопросов. Чем чаще ты прогоняешь их на тренировках, тем быстрее на экзамене понимаешь, куда копать.
Как оформить пример в задаче на числа, чтобы его засчитали
Самая обидная потеря — найти правильный пример и записать его так, что эксперт не может понять, что это решение. Голое «да, 7 и 8» на чистовике выглядит как угаданный ответ. Пример засчитывают, когда из записи видно: вот конкретные числа, вот проверка каждого условия задачи, вот вывод. Это не сочинение, хватает трёх-четырёх строк, но все условия должны быть проверены явно.
Схема простая. Первая строка — ответ на вопрос пункта: «да, может» или «нет, не может». Вторая — сам пример: перечисли числа или опиши набор. Дальше по одной строке на каждое условие: «числа различные», «сумма равна 15», «произведение 56 делится на 7». Последняя строка повторяет вывод. Если в условии пять ограничений, проверок должно быть пять, даже если какое-то кажется очевидным.
Отдельно следи за мелочами, на которых срезаются. Если сказано «натуральные», ноль не подходит. Если «различные», не повторяй числа. Если речь про количество, проверь, что чисел ровно столько, сколько нужно. Если в задаче есть процесс, например числа стирают и заменяют, распиши шаги по порядку. Эксперт проверяет не твою интуицию, а то, что написано на бланке, поэтому лучше лишняя строчка проверки, чем пропущенная.
Какую теорию делимости повторить перед экзаменом
Для первого пункта не нужна вузовская теория чисел. Нужна крепкая школьная база: признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10 и 11, деление с остатком, чётность суммы и произведения, разложение числа на простые множители, НОД и НОК. Если любой из этих пунктов вызывает «ой, а как там было», начинай с него. Именно на этих вещах держатся почти все рассуждения «нет, не может».
Второй блок — суммы и средние. Сумма арифметической прогрессии, формула среднего арифметического, как меняется среднее, если добавить или убрать число. В задачах про оценки учеников или про числа на доске это встречается постоянно. Полезно руками вывести, что происходит со средним при замене одного элемента, а не заучивать формулу: на экзамене пригодится именно понимание.
Третий блок — приёмы рассуждения: доказательство от противного, оценка сверху и снизу, рассмотрение остатков. Их не обязательно знать по названиям, но нужно уметь сказать «предположим, что можно, тогда получим противоречие». Удобно повторять всё это в бесплатном разделе подготовки к ЕГЭ на Prepodoff: там теория по темам ФИПИ, тренажёры и разборы, а с аккаунтом видно, какие темы уже закрыты, а к каким стоит вернуться.
Когда браться за задачу на числа во время экзамена
Порядок решения — твой выбор, задания не обязательно делать подряд. Разумный подход: после первой части и тех заданий второй, в которых ты уверен, прочитай условие задачи на числа целиком. Не решай, а просто прикинь, понятен ли первый пункт. Если пример видится сразу, забери его, пока голова свежая. Если нет, вернись позже и не трать на него время, предназначенное для задач, где шансов больше.
Ставь себе ограничение по времени. Например, решил дать первому пункту пятнадцать минут — и если за это время ни примера, ни идеи нет, переходи дальше. Черновик с попытками не выкидывай: вернувшись, часто замечаешь то, чего не видел в первый раз. Главное — не застревать в третьем пункте, пока первый не записан на чистовик.
Если тренировки и экзамены идут параллельно со школой, держать график в голове трудно. Тут помогает ИИ-тренер в «Моём плане» — бесплатном планировщике в Telegram от Prepodoff: он составляет план подготовки к экзамену, объясняет теорию и разбирает решения, а напоминания приходят прямо в Telegram. Так задача на числа не откладывается до последней недели, а встаёт в план вместе с остальными темами.
Можно ли решить только первый пункт и не трогать остальные
Можно. Пункты проверяются по отдельности, и верно решённый первый пункт приносит свой балл, даже если второй и третий пустые. Точные правила оценивания стоит смотреть в критериях ФИПИ на текущий год, но сама логика устойчивая: частичное решение лучше, чем ничего. Поэтому стратегия «забрать первый пункт и уйти» — честная и рабочая, особенно если ты целишься в уверенный средний результат, а не в максимум.
Что делать, если во втором пункте есть идея, но нет полного доказательства? Записывай то, что можешь обосновать. Иногда второй пункт тоже решается примером, просто менее очевидным, и тогда стоит попробовать. Но если ответ «нет» и доказать его ты не можешь, не пиши голый ответ без рассуждения: его вряд ли засчитают. Лучше потратить это время на проверку первой части, где каждая ошибка тоже стоит балла.
Вывод: первый пункт задачи на числа — реальный балл без олимпиадной подготовки
Последнее задание профиля пугает формой, а не содержанием первого пункта. Там часто нужен один пример, найденный подбором, и аккуратная запись с проверкой всех условий. Для ответов «нет» хватает школьной делимости, чётности и остатков. Если раньше ты не дочитывал до конца варианта, попробуй хотя бы на тренировках открывать это задание и решать только первый пункт.
Начни с малого: повтори признаки делимости и остатки, разбери несколько задач прошлых лет и выработай свой шаблон оформления. Бесплатные тренажёры, теория по темам ФИПИ и разборы есть в разделе подготовки к ЕГЭ на Prepodoff — заходи, решай по паре задач на числа в неделю, и к экзамену последнее задание перестанет быть белым пятном.
