Как решать экономическую задачу ЕГЭ про кредит: коротко
Экономическую задачу про кредит решают по одному алгоритму: обозначь сумму кредита буквой, процент переведи в коэффициент k, распиши, как меняется долг в каждом периоде, и составь уравнение из условия «после последнего платежа долг равен нулю». Почти все такие задачи укладываются в две схемы — равные платежи или долг, который уменьшается на одну и ту же величину. Узнал схему — дальше остаётся аккуратная алгебра без хитрых идей.
Почему экономическую задачу пропускают, хотя она одна из самых понятных
Знакомая картина: доходишь до второй части, видишь «в июле планируется взять кредит в банке», дальше три строки про проценты и платежи — и рука сама перелистывает страницу. В голове сразу «я не разбираюсь в банках», «там какие-то формулы из экономики», «это для тех, кто ходит к репетитору». Задача остаётся пустой, хотя на неё могло уйти полчаса спокойной работы.
Страх идёт от длинного текста, а не от математики. Условие написано банковским языком, но экономики в нём нет: только проценты из средней школы, раскрытие скобок и сумма прогрессии — геометрической или арифметической. Вторая причина в том, что в школе этот тип задач часто не разбирают системно, поэтому кажется, будто каждая задача уникальна и к ней нужен особый трюк.
На деле это одна из самых шаблонных задач второй части. Сюжеты повторяются: кредит с равными платежами, кредит с равномерно уменьшающимся долгом, вклад с пополнениями, иногда задача на оптимизацию. Если разобрать по две-три задачи каждого вида, слово «кредит» перестаёт пугать и начинает радовать: с первой строки понятно, что делать и в каком порядке.
Как устроен кредит в задаче ЕГЭ: долг, проценты и коэффициент k
Все экономические задачи держатся на трёх словах: долг, начисление процентов, платёж. Долг — сколько ты должен банку прямо сейчас. Начисление — момент, когда долг увеличивается на r процентов. Платёж — момент, когда ты отдаёшь часть денег и долг уменьшается. Обычно порядок такой: сначала банк начисляет проценты, потом ты платишь. Найди этот порядок в условии и подчеркни, от него зависит всё решение.
Главный приём — не считать проценты каждый раз заново, а сразу ввести коэффициент. Увеличить долг на r процентов значит умножить его на k = 1 + r/100. При ставке 10% это 1,1, при 20% — 1,2. Тогда вся задача превращается в цепочку «умножил на k, вычел платёж», и держать в голове «десять процентов от остатка» уже не нужно. Это экономит время и сильно сокращает арифметические ошибки.
Второй приём — обозначать неизвестное буквой и не бояться оставлять выражения в буквах до последнего. Сумма кредита S, платёж X, число лет n. Числа лучше подставлять в самом конце, когда уравнение уже составлено и упрощено. Так меньше шансов утонуть в семизначных суммах посреди решения и проще заметить, если где-то потерялся множитель или перепутался знак.
Кредит с равными платежами: как составить уравнение
Первая схема — аннуитетная: ты платишь одну и ту же сумму X каждый год, и после последнего платежа долг становится нулевым. Узнать её просто: в условии сказано «равными платежами», «одинаковыми ежегодными выплатами» или «платежи равны». Расписываем долг: после первого года S·k − X, после второго (S·k − X)·k − X, и так до конца срока. Последнее выражение приравниваем к нулю.
Пример на двух годах. Кредит S под 10% годовых, два равных платежа. После первого года долг 1,1S − X, после второго 1,1(1,1S − X) − X = 1,21S − 2,1X. Приравниваем к нулю и получаем X = 1,21S / 2,1. Если S равно 2,1 млн рублей, каждый платёж — 1,21 млн, а всего ты вернёшь банку 2,42 млн. Никакой магии, только раскрытие скобок.
Для большого числа лет скобки раскрываются в сумму геометрической прогрессии: S·k^n = X·(k^(n−1) + … + k + 1). Эту формулу полезно не зубрить, а уметь вывести за минуту, расписав два-три года. На экзамене вывод выглядит убедительнее голой формулы, а если от волнения забудешь её, всё равно восстановишь из цепочки. Обычно в таких задачах ищут платёж, срок или сумму кредита.
Кредит, где долг уменьшается равномерно: вторая схема
Вторая схема — дифференцированная. В условии её выдают слова «долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на предыдущую дату» или таблица, по которой должен падать долг. Здесь платежи разные: в начале большие, в конце маленькие. Каждый платёж состоит из двух частей — процентов, начисленных на текущий долг, и одной и той же доли самого кредита, то есть S/n.
Ключевая мысль: переплата здесь — это сумма процентов на каждый остаток долга. Если кредит S берут на n месяцев под r% в месяц, долг по очереди равен S, (n−1)S/n, …, S/n. Проценты на них в сумме дают r/100 · S · (n+1)/2 — это сумма арифметической прогрессии. Например, 1,2 млн на 12 месяцев под 1% в месяц дают переплату 0,01 · 1,2 · 6,5 = 0,078 млн, то есть 78 тысяч рублей.
Типичная ловушка — перепутать схемы. Если решать дифференцированную задачу через равные платежи, уравнение получится, но ответ будет неверным. Поэтому первым шагом всегда выписывай, что в условии одинаковое: платёж или уменьшение долга. Это одна строчка на черновике, которая спасает от получаса впустую. Бывают и условия, где долг падает по своей таблице, — их решают той же логикой.
Как составить таблицу долга и не запутаться в периодах
Таблица — лучший способ увидеть задачу целиком. Сделай столбцы: период, долг до начисления, долг после начисления, платёж, долг после платежа. Заполняй строку за строкой буквами. В дифференцированной схеме таблицу часто дают прямо в условии, в аннуитетной её рисуешь сам. Через три-четыре строки закономерность становится видна, и дальше можно писать «и так далее» с общей формулой.
Отдельно про вклады. Логика та же, только деньги растут в твою пользу: сумма на счёте умножается на k, потом ты добавляешь или снимаешь деньги. Если вклад без пополнений, через n лет на нём S·k^n. Если с пополнениями, в таблице появляется столбец «добавил». Спутать вклад с кредитом сложно, но знак операции — плюс или минус — стоит проверять в каждой строке.
Чтобы набить руку, нужно не читать разборы, а решать: таблица начинает строиться сама после нескольких задач разных видов. В разделе подготовки к ЕГЭ на Prepodoff по профильной математике есть теория по темам ФИПИ, тренажёры и разборы, всё бесплатно. Можно пройти экономические задачи подряд и сверять свою таблицу с разбором, а аккаунт сохранит прогресс и покажет, на чём ты остановился.
Как оформить экономическую задачу на полный балл
Проверяющий смотрит не только на ответ, но и на то, понятно ли, откуда он взялся. Начни с обозначений: «пусть S — сумма кредита, X — ежегодный платёж, k = 1 + r/100». Дальше — таблица или цепочка выражений для долга по периодам. Потом уравнение с пояснением, почему оно верно: «после последнего платежа долг равен нулю». Без этих связок решение выглядит как набор формул из воздуха.
Арифметику не прячь в голове. Если делишь 1,21S на 2,1, напиши промежуточный шаг. Ошибка в вычислениях — самая обидная причина потерять балл при верной идее, а проверяющий не может засчитать то, чего не видит. Ответ запиши отдельной строкой в тех единицах, которые просят в условии: рубли, тысячи рублей, годы. Правильное число легко потерять, ответив в миллионах вместо тысяч.
Если не уверен в оформлении, покажи решение тому, кто подскажет, где не хватает пояснений. В «Моём плане» — бесплатном планировщике студента в Telegram — есть ИИ-тренер: он составляет план подготовки к экзамену, объясняет теорию и разбирает решения. Можно попросить его разобрать твою задачу и показать, где пропущено обоснование, а потом сверить оформление с критериями ФИПИ.
Что делать, если экономическая задача не похожа ни на одну схему?
Иногда в условии нет ни «равных платежей», ни «равномерного уменьшения долга»: банк меняет ставку по годам, нужно найти наименьший срок или выбрать выгодный вариант из двух. Это не повод сдаваться. Таблица работает и здесь: расписываешь долг по периодам по тем правилам, которые даны, и смотришь, какое условие превращается в уравнение или неравенство.
Задачи на оптимизацию — отдельный подвид: например, нужно распределить производство между двумя заводами так, чтобы прибыль была наибольшей. Там вместо таблицы долга — функция, которую исследуют через производную или свойства квадратичной функции. Если ты уже умеешь искать наибольшее значение функции, половина работы сделана. Если нет — начни с кредитов и вкладов, с них проще стартовать.
Можно ли решить задачу частично? Пустое поле точно ничего не принесёт, а верно составленная модель и уравнение показывают проверяющему, что ты понимаешь задачу, даже если запутался в арифметике. Как именно оценивается неполное решение, смотри в актуальных критериях ФИПИ, но общий принцип простой: пиши всё, что понимаешь, аккуратно и с пояснениями.
С чего начать, если раньше пропускал экономическую задачу
Начни с самого простого: две-три задачи на вклады, где нужно только умножать на k. Потом аннуитет на два года, как в примере выше, затем на три и на n лет. Потом дифференцированная схема. На каждый вид — несколько задач, пока таблица не начнёт рисоваться без подсказки. Такой порядок не требует полугода: хватает спокойной работы по вечерам в течение нескольких недель.
Держи отдельный листок с ошибками: перепутал порядок начисления и платежа, забыл, что ставка годовая, а платёж ежемесячный, ответил не в тех единицах. С каждой новой задачей этот листок будет пополняться всё реже, а экономическая задача из пугающей превратится в ту, ради которой ты открываешь вторую часть первой.
Главный вывод: слово «кредит» в условии — это подсказка, а не угроза. Две схемы платежей, коэффициент k, таблица долга и аккуратное оформление закрывают большинство таких задач. Теорию, тренажёры и разборы по профильной математике можно бесплатно пройти в разделе подготовки к ЕГЭ на Prepodoff — начни с одной задачи сегодня, и скоро будешь искать её в варианте первой.
