Что такое уравнение с разделяющимися переменными: короткий ответ
Уравнение с разделяющимися переменными — это дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно привести к виду, где слева стоят только y и dy, а справа только x и dx. Алгоритм такой: запиши y′ как dy/dx, перенеси всё с y к dy, всё с x к dx, проинтегрируй обе части и добавь постоянную C. Отдельно проверь значения y, на которые ты делил: это могут быть потерянные решения.
Почему я разделил переменные, а ответ не сходится с задачником?
Ситуация знакома каждому, кто решает диффуры: ты разнёс x и y по разные стороны, аккуратно проинтегрировал, а в конце задачника стоит другая формула. Чаще всего причин три, и ни одна не связана с самими интегралами. Первая: ты поделил на выражение с y и не заметил, что оно может обращаться в ноль. Вторая: ты иначе записал постоянную. Третья: ты потерял модуль под логарифмом.
Про вторую причину стоит сказать отдельно. Ответы y = C·√(1 + x²) и y² = C₁·(1 + x²), где C₁ = C², задают одно и то же семейство кривых: отличается только запись постоянной. Задачник может выразить ту же функцию через арктангенс, логарифм или оставить её в неявном виде, и на первый взгляд это совсем другая формула. Поэтому сравнивай не буквы, а смысл: если продифференцировать твой ответ и подставить в исходное уравнение, должно получиться тождество.
Третья причина уже теоретическая. Когда ты делишь на выражение, зависящее от y, ты предполагаешь, что оно не равно нулю. Значит, решения, на которых оно обращается в ноль, остаются за кадром. Иногда они сами входят в общее решение при каком-то значении C, а иногда нет, и тогда их нужно дописать к ответу. На проверке этот пункт смотрят особенно внимательно.
Как понять, что в дифференциальном уравнении можно разделить переменные?
Первый признак: уравнение записано в виде y′ = f(x)·g(y), то есть правая часть распадается на произведение функции только от x и функции только от y. Например, y′ = 2xy подходит: 2x зависит от x, а y — только от y. Уравнение y′ = x + y не подходит, потому что сумма на множители не раскладывается. Это уже линейное уравнение, и решать его нужно другим способом.
Второй вид записи — через дифференциалы: M(x)·N(y) dx + P(x)·Q(y) dy = 0. Здесь переменные тоже разделяются: поделив обе части на N(y)·P(x), получаешь M(x)/P(x) dx + Q(y)/N(y) dy = 0. Если множители спрятаны за скобками, вынеси общие. Например, x(1 + y²) dx = y(1 + x²) dy после деления на (1 + x²)(1 + y²) превращается в x dx/(1 + x²) = y dy/(1 + y²).
Есть и хитрый случай: переменные не видны, но замена их проявляет. Если уравнение имеет вид y′ = f(ax + by), обозначь z = ax + by. Тогда z′ = a + b·y′ = a + b·f(z), и для z переменные уже разделяются. Если же всё зависит от отношения y/x, это однородное уравнение с другой заменой. Поэтому сначала всегда проверяй самый простой вариант: нельзя ли просто разнести x и y.
Потренируй глаз на двух примерах. Уравнение y′ = (x² + 1)·cos y разделяется сразу: dy/cos y = (x² + 1) dx. А в уравнении y′ = x² + y² правая часть — сумма, на множители она не раскладывается, и разделить переменные не получится. Хороший приём: мысленно закрой в правой части всё, что связано с y, и посмотри, остаётся ли множитель, зависящий только от x. Если остаётся, ты на верном пути.
Как решать уравнение с разделяющимися переменными по шагам?
Алгоритм укладывается в пять шагов. Первый: замени y′ на dy/dx. Второй: умножь и подели так, чтобы dy оказалось рядом только с функциями от y, а dx — только с функциями от x. Третий: проинтегрируй каждую часть по своей переменной; постоянную C достаточно записать с одной стороны. Четвёртый: вырази y, если это получается, или оставь ответ в неявном виде. Пятый: вернись к местам, где делил.
На втором шаге ты делишь на g(y), поэтому сразу выпиши, при каких значениях y выражение g(y) равно нулю. Каждый такой корень y = a — постоянная функция. Если g(a) = 0, то обе части уравнения y′ = f(x)·g(y) равны нулю, и y = a действительно решение. Дальше нужно понять, входит ли оно в общую формулу при каком-нибудь C. Если нет, его записывают в ответ отдельно.
Самопроверка тоже короткая: продифференцируй ответ и подставь в исходное уравнение, для неявного ответа дифференцируй неявно. Результат можно сверить и с калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff: он бесплатный, работает онлайн без регистрации, решает пошагово и проверяет каждый ответ подстановкой. Сначала реши в тетради сам, а потом сравни свой ход с его ходом: так видно, на каком шаге пути разошлись.
Как решить уравнение y′ = 2xy: первый разобранный пример
Возьмём уравнение: y′ = 2xy. Правая часть — произведение f(x) = 2x и g(y) = y, значит, переменные разделяются. Записываем y′ как dy/dx: dy/dx = 2xy. Умножаем на dx и делим на y, считая y ≠ 0: dy/y = 2x dx. Теперь слева только y, справа только x, и можно интегрировать.
Интегрируем обе части: ln|y| = x² + C₁. Модуль нужен, потому что y может быть отрицательным. Потенцируем, то есть берём экспоненту от обеих частей: |y| = exp(x² + C₁) = exp(C₁)·exp(x²). Здесь exp(x²) — это e в степени x², так запись просто легче читать. Раскрываем модуль: y = ±exp(C₁)·exp(x²). Обозначим C = ±exp(C₁); это любое число, кроме нуля. Получаем семейство решений: y = C·exp(x²).
Теперь вернёмся к делению. Мы делили на y, значит, нужно отдельно проверить y = 0. Подставляем в уравнение: слева 0′ = 0, справа 2x·0 = 0, так что это решение. Но оно получается из формулы y = C·exp(x²) при C = 0, поэтому отдельно писать его не нужно: достаточно разрешить C быть любым числом. Проверка: y′ = C·exp(x²)·2x = 2x·y. Ответ: y = C·exp(x²), C — любое число.
Здесь легко споткнуться в двух местах. Первое: записать ln y вместо ln|y|. Тогда ты автоматически теряешь все отрицательные решения, хотя формула с произвольной константой их как раз даёт. Второе: после потенцирования оставить exp(C₁) и дальше писать его как отдельную положительную константу. Это не ошибка, но тогда нужно честно дописать, что y может быть и отрицательным, иначе ответ получится неполным.
Что такое потерянные решения и как их не потерять?
Разберём пример, где решение действительно теряется: y′ = 1 − y². Пишем dy/dx = 1 − y² и делим на 1 − y², считая y ≠ 1 и y ≠ −1: dy/(1 − y²) = dx. Левую часть раскладываем на дроби: 1/(1 − y²) = ½·(1/(1 − y) + 1/(1 + y)). Интегрируем: ½·ln|(1 + y)/(1 − y)| = x + C₁.
Умножаем на 2 и потенцируем: (1 + y)/(1 − y) = C·e²ˣ, где C ≠ 0. Выражаем y: 1 + y = C·e²ˣ − C·e²ˣ·y, откуда y·(1 + C·e²ˣ) = C·e²ˣ − 1. Итог: y = (C·e²ˣ − 1)/(C·e²ˣ + 1). При C = 0 получаем y = −1, значит, это решение входит в семейство, если разрешить C = 0.
А вот y = 1 в формулу не попадает ни при каком конечном C. Подставляем y = 1 в уравнение: 0 = 1 − 1, верно, так что это потерянное решение, и его нужно дописать. Ответ: y = (C·e²ˣ − 1)/(C·e²ˣ + 1) и отдельно y = 1. Если в задачнике стоит y = th(x + C₁), не пугайся: это гиперболический тангенс, и он описывает лишь решения с |y| < 1, а решения с |y| > 1 даёт y = cth(x + C₁).
Если уравнение записано в дифференциалах, например M(x)·N(y) dx + P(x)·Q(y) dy = 0, делить приходится и на множители с x. Тогда нужно проверить корни уравнения P(x) = 0: при x = a, где P(a) = 0, вертикальная прямая тоже может удовлетворять уравнению. Правило одно и то же: каждое деление означает вопрос «а что будет, если это выражение равно нулю?», и ответ на него надо проверить подстановкой.
Как решить задачу Коши для уравнения с разделяющимися переменными?
Задача: найти решение уравнения (1 + x²)·y′ = xy, для которого y(0) = 3. Сначала ищем общее решение. Пишем (1 + x²)·dy/dx = xy и делим на y·(1 + x²), считая y ≠ 0: dy/y = x dx/(1 + x²). Слева получается ln|y|, а справа интеграл берётся подведением под дифференциал: ∫ x dx/(1 + x²) = ½·ln(1 + x²).
Получаем ln|y| = ½·ln(1 + x²) + ln|C|, где постоянную удобно сразу записать как логарифм. Потенцируем: |y| = |C|·√(1 + x²). После раскрытия модуля y = C·√(1 + x²), а значение C = 0 возвращает решение y = 0, которое мы исключили при делении: подстановка показывает, что оно тоже подходит. Это общее решение. Теперь подставляем условие y(0) = 3: 3 = C·√(1 + 0) = C, значит, C = 3.
Частное решение: y = 3·√(1 + x²). Проверим подстановкой. Производная: y′ = 3x/√(1 + x²). Левая часть: (1 + x²)·3x/√(1 + x²) = 3x·√(1 + x²). Правая часть: x·3·√(1 + x²), то же самое. Условие тоже выполнено: при x = 0 получаем y = 3·1 = 3. Запомни порядок: начальные данные подставляют в общее решение, а не в исходное уравнение.
Бывает, что общее решение нельзя выразить через y и остаётся неявная запись, например ln|y| + y = x² + C. Тогда начальные данные подставляют точно так же: берёшь x₀ и y₀, получаешь число для C и записываешь частный интеграл. Выражать y обязательно не нужно, если об этом не просили. Главное, чтобы после подстановки равенство при x₀ и y₀ выполнялось, это проверяется за несколько секунд.
Можно ли проверять дифуры калькулятором и что делать, если не получается?
Можно, но как способ проверки, а не вместо понимания. На контрольной калькулятора не будет, а ход решения придётся показать самому. Поэтому сначала реши ДУ в тетради, потом сверь ответ. Если результаты расходятся, ищи ошибку по порядку: не потерян ли модуль, не разделил ли ты на выражение, которое может быть нулём, не пропало ли решение вида y = a.
Калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff решает уравнения с разделяющимися переменными пошагово, как на парах, и строит график решения. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. Такой же калькулятор есть в Telegram-боте @prepodoff_bot: там PDF присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Он умеет и другие типы ОДУ, так что им удобно сверяться по всему разделу.
Если застреваешь не на самом уравнении, а на интеграле, повтори таблицу интегралов и подведение под дифференциал: дифуры почти всегда упираются именно в них. А чтобы подготовка не расползалась, загрузи даты контрольных и экзамена в «Мой план». Это бесплатный планировщик студента в Telegram: расписание пар, дедлайны и напоминания, а ИИ-тренер составляет план подготовки к экзамену и объясняет теорию. Подробности на странице /bot.
