Уравнения в полных дифференциалах: как решать, коротко
Уравнение M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 называют уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть — дифференциал некоторой функции U(x, y). Проверка одна: ∂M/∂y = ∂N/∂x. Если равенство выполнено, интегрируешь M по x, подбираешь недостающую функцию от y и записываешь ответ: U(x, y) = C. Если не выполнено, перед тобой другой тип дифура: нужен интегрирующий множитель или иной метод.
Почему условие проверил, а функцию U найти не получается?
Знакомая картина: на паре преподаватель пишет ∂M/∂y = ∂N/∂x, ставит галочку и переходит к «восстановлению потенциала». Ты видишь буквы U, φ(y), частные производные и понимаешь: проверка прошла, а что делать дальше — неясно. Сама проверка занимает десять секунд, вся работа начинается после неё, и именно этот кусок на лекциях чаще всего проскакивают на бегу.
Трудность в том, что в обычных интегралах «постоянная» — просто число C. Здесь при интегрировании по x роль постоянной играет целая функция φ(y): при дифференцировании по x любое слагаемое, которое содержит только y, исчезает. Отсюда и главный шаг метода — найти эту функцию. Когда это понятно, остальное превращается в два обычных интеграла и одно сравнение.
Ниже — алгоритм из пяти шагов и три полностью разобранных примера. Решай их сам, закрывая ответ, а потом сверяйся. Дифуры, диффуры, ДУ и ОДУ — названия одного и того же предмета, и для уравнений в полных дифференциалах схема везде одинакова, как бы это ни называл твой преподаватель. Если тема уже знакома, сразу переходи к примерам и проверь, совпадают ли твои ответы.
Что значит «полный дифференциал» и откуда берётся условие?
У функции двух переменных U(x, y) полный дифференциал считается так: dU = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy. Теперь сравни с уравнением M dx + N dy = 0. Оно совпадает с dU = 0, если выполнены два равенства: ∂U/∂x = M и ∂U/∂y = N. Тогда dU = 0, а значит, U(x, y) = C. Это и есть общий интеграл уравнения: семейство кривых, на каждой из которых функция U сохраняет постоянное значение.
Условие ∂M/∂y = ∂N/∂x выводится из этих равенств. Продифференцируем первое по y, а второе по x: получатся смешанные производные ∂²U/∂y∂x и ∂²U/∂x∂y. Если M, N и их частные производные непрерывны, смешанные производные равны, поэтому ∂M/∂y = ∂N/∂x. Это условие необходимое, а в односвязной области, то есть в области без «дырок» (в учебных задачах обычно подразумевают именно её), ещё и достаточное: функция U действительно существует.
Смысл условия простой: не любая пара функций M и N склеивается в частные производные одной функции. Например, для y dx − x dy имеем ∂M/∂y = 1, а ∂N/∂x = −1, и подходящей U здесь нет. Зато если умножить это выражение на 1/y², получится dx/y − x dy/y² = d(x/y). Так появляется идея интегрирующего множителя.
Как найти U(x, y): алгоритм по шагам
Шаг 1. Запиши уравнение в виде M dx + N dy = 0 и проверь, что ∂M/∂y = ∂N/∂x. Если равенства нет, останавливайся: метод не сработает. Шаг 2. Проинтегрируй M по x, считая y постоянной: U = ∫ M dx + φ(y). Функция φ(y) — «постоянная интегрирования», которая вправе зависеть от y.
Шаг 3. Продифференцируй полученную U по y и приравняй к N: ∂U/∂y = N. Из этого равенства найди φ′(y). Здесь есть встроенный контроль: все слагаемые с x должны сократиться, и останется выражение только от y. Если x остался, где-то ошибка: в интеграле или в проверке условия. Шаг 4. Проинтегрируй φ′(y) по y и получи φ(y). Константу при этом не пишешь: она уйдёт в C.
Шаг 5. Подставь φ(y) в U и запиши ответ: U(x, y) = C. Можно начать и с N: проинтегрировать её по y и добавить функцию ψ(x). Выбирай тот интеграл, который проще. Делить на M или N в этом методе не нужно, поэтому дополнительные решения здесь обычно не теряются, а вот про запись «= C» в конце студенты забывают постоянно.
Запомни схему целиком: проверка, интеграл по x, сравнение с N, интеграл по y, ответ. Если держать в голове именно эту последовательность, уравнение в полных дифференциалах решается за несколько минут. Дольше обычно приходится возиться не с самим методом, а с неаккуратными интегралами и знаками, поэтому выписывай каждое действие отдельной строкой и не проноси промежуточные результаты в уме.
Пример 1: как решить (2xy + 3) dx + (x² − 1) dy = 0?
Здесь M = 2xy + 3, N = x² − 1. Проверяем условие: ∂M/∂y = 2x и ∂N/∂x = 2x. Они равны, значит, это уравнение в полных дифференциалах. Интегрируем M по x, считая y постоянной: U = ∫ (2xy + 3) dx = x²y + 3x + φ(y). Пока функция φ(y) неизвестна, и её нужно найти из второго равенства.
Дифференцируем по y: ∂U/∂y = x² + φ′(y). Приравниваем к N: x² + φ′(y) = x² − 1. Слагаемые с x² сократились, и это хороший знак. Остаётся φ′(y) = −1, откуда φ(y) = −y. Подставляем в U и получаем U = x²y + 3x − y. Константу при интегрировании φ′(y) не добавляем: она всё равно войдёт в C в правой части ответа.
Ответ: x²y + 3x − y = C. Проверка: дифференциал левой части равен (2xy + 3) dx + (x² − 1) dy, то есть исходному уравнению. Если нужен явный вид, вынеси y за скобку: y(x² − 1) = C − 3x, поэтому y = (C − 3x)/(x² − 1) при x ≠ ±1. Обычно преподаватель принимает и неявную запись.
Обрати внимание, как работает самоконтроль на третьем шаге. Если бы в уравнении φ′(y) вышло, например, равным y − x, пришлось бы искать ошибку: функция от y не может содержать x. Такая проверка встроена в метод, и она ловит ошибки раньше, чем ты дойдёшь до конца решения. Привыкай каждый раз смотреть, сократились ли лишние слагаемые.
Пример 2: что делать, если проще начать с N?
Возьмём (y/x + 2x) dx + (ln x − 3y²) dy = 0 при x > 0. Здесь M = y/x + 2x, N = ln x − 3y². Находим ∂M/∂y = 1/x и ∂N/∂x = 1/x. Условие выполнено. Интеграл от M по x тоже берётся, но N интегрируется по y ещё проще, поэтому начнём с неё. Выбирать удобный путь — нормальная практика.
Интегрируем N по y при постоянном x: U = ∫ (ln x − 3y²) dy = y ln x − y³ + ψ(x). Теперь дифференцируем по x: ∂U/∂x = y/x + ψ′(x). Приравниваем к M: y/x + ψ′(x) = y/x + 2x. Слагаемые с y сократились, остаётся ψ′(x) = 2x, откуда ψ(x) = x².
Ответ: y ln x − y³ + x² = C. Проверка: ∂U/∂x = y/x + 2x и ∂U/∂y = ln x − 3y², а это в точности M и N. Неявный вид здесь единственно разумный: выразить y из кубического уравнения вручную не получится, и никто этого не потребует. Главное — правильно записанный общий интеграл.
Условие x > 0 здесь не случайно: логарифм и дробь y/x определены только при x ≠ 0, а ln x — только при x > 0. В таких задачах область определения нужно хотя бы упомянуть в ответе. Это пара слов, но она показывает преподавателю, что ты понимаешь, где решение существует, а не просто механически выполняешь шаги алгоритма.
Пример 3: как решить задачу Коши для такого уравнения?
Решим (2x − y) dx + (2y − x) dy = 0 с условием y(1) = 2. Здесь M = 2x − y, N = 2y − x, ∂M/∂y = −1 и ∂N/∂x = −1. Всё сходится. Интегрируем M по x: U = x² − xy + φ(y). Дифференцируем по y: −x + φ′(y) = 2y − x, поэтому φ′(y) = 2y и φ(y) = y².
Общий интеграл: x² − xy + y² = C. Теперь используем начальное условие: x = 1, y = 2, значит 1 − 2 + 4 = 3, то есть C = 3. Ответ задачи Коши: x² − xy + y² = 3. Условие подставляют только в готовый общий интеграл, не раньше: иначе пропадёт зависимость, из которой ты ищешь функцию.
Явно из квадратного уравнения относительно y получаем: y = (x + √(12 − 3x²))/2. Знак плюс выбран потому, что при x = 1 нужно y = 2: (1 + 3)/2 = 2. Знак минус дал бы y(1) = −1, то есть другую ветку. Как решение уравнения эта функция живёт при |x| < 2: на концах отрезка касательная вертикальна. Свой ответ полезно сверить с калькулятором.
Что делать, если ∂M/∂y не равно ∂N/∂x?
Не торопись объявлять задачу нерешаемой. Сначала перепроверь производные: чаще всего расхождение — банальная ошибка в знаке или потерянный множитель. Если после перепроверки неравенство осталось, значит, перед тобой другой тип. Вернись к классификации: возможно, переменные разделяются или уравнение линейное либо однородное. Проверь эти варианты по очереди, прежде чем искать множитель: часто один из них срабатывает сразу и экономит время.
Если уравнение выглядит почти как в полных дифференциалах, ищи интегрирующий множитель: функцию, после умножения на которую условие выполняется. Часто он зависит только от x или только от y. Например, у y dx − x dy множитель 1/y² превращает выражение в d(x/y), и получается общий интеграл x/y = C. При делении на y² теряется решение y = 0, а оно подходит, поэтому его нужно дописать к ответу.
Типичные ошибки в этой теме: забыть φ(y) после первого интеграла; сравнить ∂U/∂y не с N, а с M; оставить в φ′(y) переменную x и не заметить, что это сигнал об ошибке; в конце не написать «= C». Для проверки продифференцируй U по x и по y: должны получиться M и N.
Можно ли проверить решение калькулятором и не списать?
Можно, если использовать его как контроль. Реши уравнение сам, получи U(x, y) = C, а потом открой калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн и без регистрации, решает уравнения в полных дифференциалах пошагово, проверяет ответ подстановкой и строит график. Сравни его ход со своим и найди шаг, на котором вы разошлись.
Обычно расхождение живёт в одном месте: в интегрировании M или в сравнении с N. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: PDF присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Но на экзамене рядом никого не будет, поэтому сначала решай сам, а к калькулятору обращайся, когда ответ уже записан в тетради.
Чтобы закрепить тему, составь график: три-четыре уравнения в день, сначала проверка условия, потом полное решение. Расписание пар, дедлайны и напоминания удобно вести в «Моём плане» — бесплатном планировщике студента в Telegram, а ИИ-тренер там составит план подготовки к экзамену и объяснит теорию. Итог темы короток: условие ∂M/∂y = ∂N/∂x, интеграл, функция φ(y), ответ U = C.
