Что такое задача Коши: короткий ответ
Задача Коши — это дифференциальное уравнение вместе с начальными условиями, по которым нужно найти одно конкретное частное решение. Алгоритм такой: находишь общее решение с произвольными постоянными C₁, C₂, затем подставляешь начальные условия и получаешь систему для этих постоянных. Для уравнения первого порядка условие одно: y(x₀) = y₀. Для второго порядка условий два: y(x₀) = y₀ и y′(x₀) = y₁. Нашёл числа, подставил — и общее решение превратилось в частное.
Почему общее решение нашёл, а с условиями путаюсь?
Знакомая картина: дифференциальное уравнение решено, интегралы взяты, получилось красивое общее решение с константой, а в условии стоит строчка «y(0) = 3» или даже две, и непонятно, что с ней делать. Куда подставлять? Что значит y′(0)? Почему нельзя оставить C в ответе? На парах этот шаг часто проговаривают за полминуты, и дома он выпадает из головы.
На самом деле здесь нет новой математики. Общее решение — это целое семейство кривых, например парабол или экспонент, которые отличаются только значением постоянной. Начальное условие говорит, через какую именно точку плоскости должна пройти нужная кривая. Подставляя координаты точки, ты выбираешь из бесконечного семейства единственную кривую. Задача Коши и есть этот выбор, больше ничего.
Поэтому трудность чисто техническая: не перепутать, куда ставить x₀ и y₀, и не забыть про производную, когда условий два. Эта статья как раз про технику: что подставлять, в каком порядке и как проверить, что ответ получился правильным. Дальше идут три полностью разобранных примера, которые закрывают большинство задач из контрольных по дифурам.
Сколько начальных условий нужно для задачи Коши?
Правило простое: сколько произвольных постоянных в общем решении, столько условий нужно, чтобы их найти. А постоянных столько, каков порядок уравнения. У ДУ первого порядка одна константа C, поэтому условие одно: значение функции в точке, y(x₀) = y₀. Например, условие y(0) = 3 означает, что график проходит через точку (0; 3).
У ОДУ второго порядка две постоянные, C₁ и C₂, поэтому и условий два. Первое задаёт значение функции: y(x₀) = y₀. Второе задаёт значение производной, то есть наклон касательной в той же точке: y′(x₀) = y₁. Для уравнения третьего порядка добавляется ещё y″(x₀) = y₂, и так далее. Все условия задаются в одной точке x₀, этим задача Коши отличается от краевой задачи.
Если порядок уравнения сразу не виден, определи его по старшей производной. Дальше всё механически: порядок n даёт n констант и n условий, а значит, систему из n уравнений для n неизвестных. Если условий меньше, чем порядок, ответ останется с константами, и это уже не задача Коши, а поиск общего решения или семейства решений.
Как решить задачу Коши по шагам?
Алгоритм состоит из пяти шагов. Первый: определи тип уравнения и найди общее решение с константами. Второй: если условий два или больше, продифференцируй общее решение нужное число раз, чтобы получить формулы для y′ и y″. Третий: подставь в общее решение и в его производные значение x₀ и заданные числа. Четвёртый: реши полученную систему относительно C₁, C₂. Пятый: подставь найденные числа в общее решение.
Главная ловушка — порядок действий. Условие на производную нельзя подставлять в общее решение, пока ты его не продифференцировал: сначала найди y′(x) как функцию, и только потом подставляй x₀. Вторая ловушка — подставлять условия посреди вычислений, до того как общее решение записано целиком. Пока набиваешь руку, делай это строго после, тогда константы не путаются. Исключение — понижение порядка: там C₁ выгодно найти сразу, как только она появилась, чтобы следующий интеграл стал проще.
Ответ в задаче Коши — всегда функция без констант, а не набор чисел. Если в записи остались C, задача не дорешана. После получения ответа проверь два факта: функция удовлетворяет уравнению и выполняет все начальные условия. Для самопроверки удобен калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff: он решает задачу Коши пошагово, и ты сравниваешь с ним свой ход решения, а не просто ответ.
Если условие задано не в нуле, например y(1) = 2 для решения y = C · exp(x²), где exp(x²) — это e в степени x², подставляй x = 1: получится C · e = 2, то есть C = 2/e. Не спеши превращать константу в десятичную дробь, точная запись надёжнее. Если общее решение неявное, скажем x² + y² = C, условие подставляют прямо в эту запись: при y(0) = 2 выходит C = 4, и ответ x² + y² = 4. Выражать y явно нужно, только если так просит задание.
Пример 1: как решить задачу Коши для уравнения первого порядка?
Найдём решение уравнения y′ = 2xy при условии y(0) = 3. Это уравнение с разделяющимися переменными. Заменим y′ на dy/dx и разделим переменные, считая y ≠ 0: dy/y = 2x dx. Интегрируем обе части: ln|y| = x² + c. После потенцирования и объединения постоянной получаем общее решение: y = C · exp(x²), где C — любое число. Случай y = 0 получается при C = 0, поэтому он не потерян.
Теперь подставляем условие y(0) = 3. При x = 0 показатель равен нулю, и e⁰ = 1, поэтому 3 = C · 1, откуда C = 3. Уравнение для константы здесь одно, потому что порядок первый. Записываем ответ: y = 3 · exp(x²). Это та единственная кривая из семейства, которая проходит через точку (0; 3).
Проверим подстановкой. Производная: y′ = 3 · exp(x²) · 2x = 6x · exp(x²). Правая часть уравнения: 2xy = 2x · 3 · exp(x²) = 6x · exp(x²). Левая и правая части совпали. Условие тоже выполнено: y(0) = 3 · e⁰ = 3. Ответ: y = 3 · exp(x²). Заметь, что знак модуля под логарифмом нигде не помешал: он просто ушёл в константу C.
Пример 2: как найти C₁ и C₂ для уравнения второго порядка?
Решим задачу: y″ − 3y′ + 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0. Это линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение: λ² − 3λ + 2 = 0. Его корни λ₁ = 1 и λ₂ = 2 действительные и разные, поэтому общее решение выглядит так: y = C₁eˣ + C₂e²ˣ.
Условий два, поэтому сначала дифференцируем общее решение: y′ = C₁eˣ + 2C₂e²ˣ. Теперь подставляем x = 0, помня, что e⁰ = 1. Из условия y(0) = 1 получаем: C₁ + C₂ = 1. Из условия y′(0) = 0 получаем: C₁ + 2C₂ = 0. Это система из двух линейных уравнений с неизвестными C₁ и C₂.
Вычитаем первое уравнение из второго: C₂ = −1. Тогда C₁ = 1 − C₂ = 2. Подставляем в общее решение: y = 2eˣ − e²ˣ. Проверка. Производные: y′ = 2eˣ − 2e²ˣ, y″ = 2eˣ − 4e²ˣ. Подставляем: y″ − 3y′ + 2y = (2eˣ − 4e²ˣ) − (6eˣ − 6e²ˣ) + (4eˣ − 2e²ˣ). Коэффициент при eˣ: 2 − 6 + 4 = 0, при e²ˣ: −4 + 6 − 2 = 0. Условия: y(0) = 2 − 1 = 1 и y′(0) = 2 − 2 = 0. Всё верно.
Пример 3: что делать, если корни характеристического уравнения комплексные?
Решим задачу: y″ + 4y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2. Характеристическое уравнение: λ² + 4 = 0, откуда λ = ±2i. Корни комплексные с нулевой действительной частью, поэтому экспоненты в решении нет, остаются косинус и синус: y = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x. Коэффициент при x в аргументе косинуса и синуса берётся из мнимой части корня, здесь она равна 2.
Находим производную: y′ = −2C₁ sin 2x + 2C₂ cos 2x. Подставляем x = 0, где cos 0 = 1, а sin 0 = 0. Из условия y(0) = 0 получаем C₁ = 0. Из условия y′(0) = 2 получаем 2C₂ = 2, то есть C₂ = 1. Здесь система распалась сама, и решать её не пришлось: каждое условие сразу дало свою константу.
Ответ: y = sin 2x. Проверка: y″ = −4 sin 2x, поэтому y″ + 4y = −4 sin 2x + 4 sin 2x = 0. Условия: y(0) = sin 0 = 0, а y′ = 2 cos 2x, значит, y′(0) = 2. Обрати внимание: при дифференцировании множитель 2 из аргумента выходит наружу. Именно здесь студенты чаще всего теряют двойку и получают неверное C₂.
Что делать, если у задачи Коши нет решения или оно не единственное?
Теорема существования и единственности отвечает на этот вопрос. Если правая часть уравнения y′ = f(x, y) и её частная производная ∂f/∂y непрерывны в окрестности точки (x₀; y₀), то в некоторой окрестности x₀ решение задачи Коши существует и притом единственно. Для линейных уравнений с непрерывными коэффициентами решение существует и единственно на всём промежутке, где коэффициенты непрерывны. Все три примера выше линейные, поэтому ответ в них единственный.
Единственности может не быть. Возьмём y′ = 2√y, y(0) = 0. Подходит и y = 0, и y = x² при x ≥ 0: во втором случае y′ = 2x и 2√(x²) = 2x. Производная правой части по y равна 1/√y и при y = 0 уходит в бесконечность, поэтому условия теоремы нарушены. Если в диффурах ты видишь такую картину, это не твоя ошибка, а свойство уравнения.
Другая ситуация: система для констант противоречива или не решается. Сначала перепроверь производную общего решения и подстановку x₀: чаще всего виновата арифметика. Если ошибок нет, значит, условия действительно несовместны, и об этом честно пишут в ответе. Для линейных уравнений с непрерывными коэффициентами и условиями в одной точке это не случается, а вот для краевых задач бывает.
Как проверить задачу Коши, чтобы не потерять баллы?
Проверка состоит из двух частей, и обе занимают пару минут. Первая: подставь найденную функцию и её производные в исходное уравнение, левая часть должна обратиться в правую. Вторая: подставь x₀ в функцию и в производные и сравни с заданными условиями. Если совпало и там, и там, ответ верный независимо от того, каким методом ты шёл.
Когда проверка не сходится, нужно найти шаг, на котором появилась ошибка. Тут пригодится калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff: он бесплатный, работает онлайн без регистрации и решает пошагово, как на парах. Он умеет задачу Коши и краевые условия, проверяет ответ подстановкой и строит график. Сравни свой ход решения с его, и расхождение покажет, где потерялась двойка или знак.
Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: PDF там присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Лучше всего работает такой порядок: сначала решаешь сам на бумаге, потом сверяешься. Тогда на контрольной ты справишься без подсказок, а калькулятор остаётся страховкой от нелепых ошибок и способом разобрать трудный шаг.
