Как решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка: короткий ответ
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида: y′ + p(x)·y = q(x). Функция y и её производная y′ входят в него только в первой степени, а p(x) и q(x) зависят лишь от x. Решают его двумя равносильными способами: подстановкой Бернулли y = uv или вариацией произвольной постоянной. Оба приводят к одной формуле: y = exp(−∫ p(x) dx) · (C + ∫ q(x)·exp(∫ p(x) dx) dx), где exp(t) — это eᵗ. Выбирай способ, который тебе понятнее.
Чем метод Бернулли отличается от вариации постоянной?
Типичная картина на диффурах: на лекции показали метод Бернулли, на семинаре — вариацию произвольной постоянной, а в задачнике рядом стоят оба, и непонятно, какой выбрать. Ещё в конспекте мелькает «интегрирующий множитель», и кажется, что это третий вид уравнений. На деле во всех трёх случаях решается одно и то же линейное уравнение, просто разными путями. Запутаться здесь нормально: преподаватели обычно показывают способы подряд и не сравнивают их.
Вот как они соотносятся. Метод Бернулли — это подстановка y = uv, после которой уравнение распадается на два простых уравнения с разделяющимися переменными. Вариация постоянной — сначала решаешь уравнение без правой части, потом считаешь константу функцией от x. Интегрирующий множитель — умножаешь всё уравнение на специальную функцию, и левая часть превращается в производную произведения. Ответ у всех способов совпадает, различается только оформление.
Какой способ выбрать? Если преподаватель не требует конкретный, бери тот, где у тебя меньше шансов ошибиться. Многим проще Бернулли: там чёткий алгоритм из нескольких шагов. Вариация постоянной хороша тем, что переносится на уравнения второго порядка, поэтому освоить её всё равно придётся. А интегрирующий множитель удобен, когда p(x) простая и множитель угадывается сразу. Лучше понять один способ до автоматизма, чем три наполовину.
Как понять, что дифференциальное уравнение линейное?
Уравнение первого порядка линейное, если y и y′ стоят в первой степени, не умножаются друг на друга и не спрятаны под знаком функции. Подходят уравнения: y′ + 3y = x², y′ − y/x = x·eˣ, y′ + y·tg x = 1/cos x. Не подходят уравнения: y′ + y² = x (степень у y), y′·y = x (произведение) и y′ + sin y = x (y под синусом). Коэффициенты при y и y′ могут быть любыми функциями от x.
Стандартный вид — это когда коэффициент при y′ равен единице. Если он другой, дели на него всё уравнение. Например, из x·y′ + 2y = 3x получается: y′ + (2/x)·y = 3. Значит, p(x) = 2/x, а q(x) = 3. Делить можно при x ≠ 0, поэтому ответ мы ищем на промежутке, где x не равен нулю. Эту оговорку про область полезно написать в решении, преподаватели такое ценят.
Если y стоит справа в степени, отличной от единицы, например y′ + y = x·y², это уже уравнение Бернулли, и там нужна другая замена. А бывает, что уравнение не линейно по y, но линейно по x: достаточно поменять роли переменных. Из y′ = 1/(x + y) получаем: x′ = x + y, где x′ = dx/dy. Это линейное дифференциальное уравнение для функции x(y), и решать его можно тем же алгоритмом.
Как решить линейное уравнение методом Бернулли y = uv?
Алгоритм такой. Шаг 1: приведи уравнение к виду y′ + p(x)·y = q(x). Шаг 2: подставь y = uv, тогда y′ = u′v + uv′, и получится: u′v + uv′ + p·uv = q. Шаг 3: сгруппируй слагаемые, где есть u: u′v + u·(v′ + p·v) = q. Шаг 4: выбери v так, чтобы скобка обнулилась: v′ + p·v = 0. Это уравнение с разделяющимися переменными, и нам нужно любое одно его решение.
Шаг 5: найди v разделением переменных, константу при этом не пишем, достаточно одной функции без параметров. Шаг 6: подставь найденное v в оставшееся уравнение u′·v = q, найди u′ = q/v и проинтегрируй. Вот здесь и появляется произвольная постоянная C. Шаг 7: запиши ответ y = uv. Весь секрет в шаге 4. Ты вправе наложить на v одно условие, потому что вместо одной неизвестной функции y ввёл две, u и v.
Пример 1. Решим уравнение: y′ + 2y = e⁻ˣ. Подставляем y = uv и группируем: u′v + u·(v′ + 2v) = e⁻ˣ. Приравниваем скобку к нулю: v′ + 2v = 0, откуда dv/v = −2 dx, и v = e⁻²ˣ. Остаётся уравнение: u′·e⁻²ˣ = e⁻ˣ. Значит, u′ = eˣ, а u = eˣ + C. Ответ: y = (eˣ + C)·e⁻²ˣ = e⁻ˣ + C·e⁻²ˣ.
Проверим подстановкой. Находим производную: y′ = −e⁻ˣ − 2C·e⁻²ˣ. Тогда y′ + 2y = −e⁻ˣ − 2C·e⁻²ˣ + 2e⁻ˣ + 2C·e⁻²ˣ = e⁻ˣ. Слагаемые с C сократились, а справа получилась ровно правая часть уравнения. Так и должно быть: константа C не влияет на уравнение, она описывает целое семейство решений, и каждое из них обязано подходить.
Как решить линейное уравнение вариацией произвольной постоянной?
Идея метода в два хода. Сначала решаешь однородное уравнение y′ + p(x)·y = 0. Оно с разделяющимися переменными, и его решение имеет вид y = C·y₀(x), где y₀ — найденная функция. Затем считаешь, что C уже не число, а функция C(x), и ищешь решение в виде: y = C(x)·y₀(x). Постоянная «варьируется», то есть начинает меняться вместе с x, отсюда и название метода.
Подставляем это в исходное уравнение. Слагаемые с самой C(x) сокращаются, потому что y₀ решает однородное уравнение, и остаётся простое равенство: C′(x)·y₀(x) = q(x). Отсюда C′ = q/y₀, интегрируешь и получаешь C(x) = ∫ q/y₀ dx + C₁. Подставляешь обратно в y = C(x)·y₀(x). Сокращение слагаемых — хороший контроль: если оно не случилось, ты ошибся в однородном уравнении или при дифференцировании.
Пример 2. Решим уравнение: y′ − y/x = x·eˣ при x ≠ 0. Однородное уравнение y′ = y/x даёт dy/y = dx/x, откуда ln|y| = ln|x| + const, то есть y = C·x. Ищем решение в виде y = C(x)·x. Тогда y′ − y/x = C′·x, и получается C′·x = x·eˣ. Значит, C′ = eˣ, а C = eˣ + C₁. Ответ: y = x·(eˣ + C₁). Проверка: y′ = eˣ + C₁ + x·eˣ, а y/x = eˣ + C₁, разность равна x·eˣ.
Третий путь — интегрирующий множитель: μ(x) = exp(∫ p(x) dx). Умножаешь на него уравнение, и левая часть становится производной произведения: (μ·y)′ = μ·q. Тогда μ·y = ∫ μ·q dx + C, и остаётся поделить на μ. Для примера 1 множитель равен e²ˣ, и получается: (y·e²ˣ)′ = eˣ. Отсюда y·e²ˣ = eˣ + C, и это тот же самый ответ, что мы нашли методом Бернулли.
Как решить задачу Коши для линейного уравнения?
Общее решение содержит постоянную C, а в задаче Коши дано ещё и условие вида y(x₀) = y₀. Алгоритм простой. Найди общее решение, подставь в него x₀ и y₀, получи обычное уравнение на C и реши его. Затем подставь найденное значение C обратно в общее решение. В ответе пиши уже частное решение без констант. Про семейство кривых и смысл постоянных подробнее в статье про общее и частное решение.
Пример 3. Решим задачу Коши: y′ + y·tg x = 1/cos x, y(0) = 2. Берём промежуток, где cos x > 0. Здесь p(x) = tg x, а интегрирующий множитель равен μ = exp(∫ tg x dx) = exp(−ln cos x) = 1/cos x. Умножаем уравнение на μ, и слева получается производная: (y/cos x)′ = 1/cos²x. Интегрируем: y/cos x = tg x + C. Общее решение: y = sin x + C·cos x.
Подставляем условие y(0) = 2: sin 0 + C·cos 0 = 2, то есть C = 2. Ответ: y = sin x + 2cos x. Проверяем уравнение. Производная равна y′ = cos x − 2sin x, а y·tg x = sin²x/cos x + 2sin x. Сумма равна cos x + sin²x/cos x = (cos²x + sin²x)/cos x = 1/cos x. Проверяем условие: y(0) = 0 + 2 = 2. Оба пункта выполнены, значит, частное решение найдено верно.
Какие ошибки чаще всего делают в линейных дифурах?
Первая ошибка — не привести уравнение к стандартному виду. Если коэффициент при y′ не равен единице, функции p(x) и q(x) получатся неверными, а с ними и весь ответ. Вторая ошибка — потерянный знак в p(x). В уравнении y′ − y/x = … функция p(x) равна −1/x, и множитель будет не exp(∫ dx/x) = x, а exp(−∫ dx/x) = 1/x при x > 0. Следи за знаком перед y, именно здесь теряют больше всего баллов.
Третья ошибка — забытая постоянная при интегрировании u или C(x): тогда получается частное решение вместо общего. Четвёртая — константа при поиске v в методе Бернулли. Она нужна только один раз, при интегрировании u′, а в v её добавлять не надо. Пятая — логарифмы: интеграл ∫ dx/x равен ln|x|, и модуль нельзя терять, хотя на выбранном промежутке его обычно раскрывают.
Лучшее лекарство от всего этого — проверка подстановкой: продифференцируй ответ, подставь в уравнение и посмотри, совпали ли обе части. Если не сходится и непонятно где ошибка, пройди по шагам вместе с калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации, показывает решение пошагово и проверяет ответ подстановкой. Так видно, на каком именно шаге твой ход разошёлся с правильным.
Можно ли проверить решение линейного ДУ онлайн и не списать?
Можно, если использовать калькулятор как проверку, а не как замену себе. Сначала реши уравнение сам на бумаге. Потом введи то же ОДУ в калькулятор по адресу /tools/differential-equations: он разбирает линейные уравнения, уравнения Бернулли и задачи Коши, строит график и подставляет ответ в уравнение. Сравни его ход со своим. Расхождение сразу покажет шаг, где закралась ошибка, а это полезнее, чем готовая строчка ответа.
Что делать, если в ответе другой вид? Допустим, у тебя y = e⁻ˣ + C·e⁻²ˣ, а в ответе задачника: y = (eˣ − C)/e²ˣ. Раскрой дробь, и получится e⁻ˣ − C·e⁻²ˣ. Это одно и то же семейство решений: пока константа остаётся произвольной, замена C на −C или на 2C ничего не меняет. Поэтому сверяй не внешний вид, а подстановку в уравнение. Для задачи Коши сравнивай уже конкретные числа: они должны совпасть точно.
Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: там PDF присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Если до зачёта по дифурам осталось немного времени, загляни в «Мой план» — это бесплатный планировщик студента в Telegram с расписанием, дедлайнами и напоминаниями, а ИИ-тренер составит план подготовки. Линейное уравнение первого порядка с непрерывными p(x) и q(x) решается всегда: нужны стандартный вид, один способ и проверка.
