Как решать неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка: коротко
Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y″ + py′ + qy = f(x), где f(x) ≠ 0. Решай такое ОДУ в три шага. Сначала найди общее решение однородного уравнения yо через характеристическое. Затем подбери любое частное решение yч, исходя из вида f(x). В конце запиши ответ: y = yо + yч. Если подобрать yч не получается, используй вариацию постоянных.
Почему я решил однородное уравнение, а частное решение не подбирается?
Знакомая картина: характеристическое уравнение решено, корни найдены, yо записано красиво, и на этом всё останавливается. В правой части стоит что-то вроде x² + 1 или e²ˣ, а как из этого получить частное решение, непонятно. Многие пытаются угадать ответ «на глаз», подставляют наугад и через полчаса бросают задачу. Дифуры второго порядка кажутся лотереей, хотя на самом деле тут есть чёткое правило.
Правило простое: вид частного решения почти всегда повторяет вид правой части. Если справа многочлен, ищи многочлен той же степени. Если справа экспонента, ищи экспоненту с тем же показателем. Если справа синус или косинус, ищи сумму синуса и косинуса. Неизвестны только числовые коэффициенты, и их находят подстановкой в уравнение. Именно поэтому метод называется методом неопределённых коэффициентов.
Есть и вторая причина провалов, которая называется резонансом. Когда показатель экспоненты в правой части совпадает с корнем характеристического уравнения, обычная пробная функция уже входит в решение однородного уравнения и при подстановке даёт ноль. Тогда пробную функцию нужно домножить на x или на x². Об этом забывают чаще всего, и именно здесь теряют баллы на контрольных по диффурам.
Почему общее решение неоднородного уравнения равно yо + yч?
Это не договорённость, а следствие линейности уравнения. Возьми два любых решения неоднородного уравнения, u₁ и u₂, и подставь их разность u₁ − u₂ в левую часть. Правые части f(x) сократятся, и получится 0. Значит, разность решает однородное уравнение и имеет вид C₁y₁ + C₂y₂, где y₁ и y₂ — фундаментальная система решений однородного уравнения. Отсюда u₁ = u₂ + C₁y₁ + C₂y₂.
Поэтому достаточно найти одно частное решение: любое другое отличается от него на решение однородного уравнения. Общее решение записывается так: y = C₁y₁ + C₂y₂ + yч. Две произвольные постоянные соответствуют второму порядку, а в самом yч констант быть не должно. Если в частном решении у тебя остались C, ты, скорее всего, перепутал его с общим.
Вторая полезная вещь называется принципом суперпозиции. Если правая часть состоит из суммы f = f₁ + f₂, частное решение ищи по частям: yч = yч₁ + yч₂, где yч₁ отвечает за f₁, а yч₂ за f₂. Например, для правой части x + e³ˣ ты подбираешь многочлен для x и экспоненту для e³ˣ, а потом складываешь их. Это экономит время и снижает риск запутаться.
В каком виде искать частное решение и когда домножать на x?
Сначала составь характеристическое уравнение λ² + pλ + q = 0 и найди корни. Они нужны дважды: для yо и для проверки резонанса. Затем смотри на правую часть. Если f(x) = Pₙ(x)·eᵃˣ, где Pₙ — многочлен степени n, ищи частное решение в виде: yч = xʳ·Qₙ(x)·eᵃˣ. Здесь Qₙ — многочлен той же степени n, но с неизвестными коэффициентами.
Число r — это кратность, с которой показатель a встречается среди корней характеристического уравнения. Если a не корень, то r = 0 и множителя x нет. Если a совпадает с одним из двух разных корней, то r = 1. Если a равно кратному корню, то r = 2. Для обычного многочлена без экспоненты a = 0, и резонанс возникает при q = 0, то есть когда в уравнении нет слагаемого с y.
Если f(x) = eᵃˣ(A·cos βx + B·sin βx), ищи частное решение в виде: yч = xʳ·eᵃˣ(M·cos βx + N·sin βx). Здесь r = 1, если число a + βi является корнем характеристического уравнения, и r = 0 в остальных случаях. Важная деталь: даже когда справа только синус, в пробной функции нужны и синус, и косинус, иначе коэффициентов не хватит. Дальше подставь yч в уравнение, приравняй коэффициенты при одинаковых функциях и реши получившуюся систему.
Несколько заготовок для самопроверки. Для f = 5 при q ≠ 0 берём yч = A. Для f = x² при q ≠ 0 берём Ax² + Bx + C. Для f = e⁻ˣ, если −1 не корень, берём Ae⁻ˣ. Для f = sin 2x, если 2i не корень, берём A·cos 2x + B·sin 2x. Для f = x·eˣ берём (Ax + B)eˣ, а если 1 — корень характеристического уравнения, домножаем всё на x. Выучи эти заготовки, и подбор перестанет быть угадыванием.
Как решить y″ − 3y′ + 2y = 2x + 1 и найти решение задачи Коши?
Шаг 1: однородное уравнение. Характеристическое уравнение λ² − 3λ + 2 = 0 даёт корни λ₁ = 1 и λ₂ = 2, они разные и действительные. Значит, yо = C₁eˣ + C₂e²ˣ. Шаг 2: правая часть 2x + 1 — многочлен первой степени, показатель a = 0 не совпадает ни с одним из корней, поэтому r = 0. Ищем частное решение в виде: yч = Ax + B.
Находим производные: yч′ = A и yч″ = 0. Подставляем в уравнение: 0 − 3A + 2(Ax + B) = 2x + 1. Приравниваем коэффициенты. При x получаем 2A = 2, значит A = 1. Свободные члены дают −3A + 2B = 1, то есть −3 + 2B = 1, откуда B = 2. Частное решение: yч = x + 2. Общее решение: y = C₁eˣ + C₂e²ˣ + x + 2.
Добавим условия Коши: y(0) = 3 и y′(0) = 2. Производная общего решения: y′ = C₁eˣ + 2C₂e²ˣ + 1. Подставляем x = 0 и получаем систему: C₁ + C₂ + 2 = 3 и C₁ + 2C₂ + 1 = 2. Вычитаем первое уравнение из второго: C₂ = 0, тогда C₁ = 1. Ответ: y = eˣ + x + 2. Проверка: y′ = eˣ + 1, y″ = eˣ, и eˣ − 3(eˣ + 1) + 2(eˣ + x + 2) = 2x + 1. Сверить ход решения можно в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff.
Частая ошибка в таких задачах: подставлять начальные условия в yо, а не в полное решение y = yо + yч. Из-за этого константы получаются другими, и ответ не проходит проверку. Условия Коши всегда относятся к общему решению целиком, включая частное. Дифференцировать для второго условия тоже нужно всё общее решение, поэтому в y′ из примера выше появилась единица от слагаемого x + 2.
Что делать при резонансе: как решить y″ − 4y′ + 4y = e²ˣ?
Характеристическое уравнение: λ² − 4λ + 4 = 0, то есть (λ − 2)² = 0. Корень λ = 2 кратный, поэтому yо = (C₁ + C₂x)e²ˣ. Правая часть e²ˣ — многочлен нулевой степени, умноженный на экспоненту, и показатель a = 2 совпадает с двукратным корнем. Резонанс самый сильный: r = 2. Если искать yч = Ae²ˣ, при подстановке получишь 0 = 1, ведь e²ˣ и xe²ˣ уже входят в yо.
Поэтому берём yч = Ax²e²ˣ. Первая производная: yч′ = A(2x + 2x²)e²ˣ. Вторая: yч″ = A(2 + 8x + 4x²)e²ˣ. Подставляем в уравнение и выносим Ae²ˣ. В скобках получается (2 + 8x + 4x²) − 4(2x + 2x²) + 4x² = 2, потому что 8x − 8x = 0 и 4x² − 8x² + 4x² = 0. Остаётся 2Ae²ˣ = e²ˣ, откуда A = 1/2.
Частное решение: yч = x²e²ˣ/2. Общее решение: y = (C₁ + C₂x + x²/2)e²ˣ. Для сравнения возьми правую часть e³ˣ: показатель 3 не корень, r = 0, и yч = Ae³ˣ даёт A(9 − 12 + 4) = 1, то есть yч = e³ˣ. Когда перед экспонентой в правой части стоит просто число, все лишние x в левой части обязаны сократиться. Если они остались, ищи арифметическую ошибку.
Что делать, если подбор не работает: как применить вариацию постоянных?
Метод неопределённых коэффициентов работает только для правых частей особого вида: многочлены, экспоненты, синусы, косинусы и их произведения. Для 1/cos x, tg x или ln x подбирать нечего. Тогда применяют вариацию постоянных, которая подходит для любой непрерывной f(x). Идея такая: берём yо = C₁y₁ + C₂y₂ и считаем C₁ и C₂ не числами, а функциями от x.
Ищем y = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂, где производные C₁′ и C₂′ удовлетворяют системе: C₁′y₁ + C₂′y₂ = 0 и C₁′y₁′ + C₂′y₂′ = f(x). Такая система верна, когда старший коэффициент при y″ равен единице, иначе сначала раздели на него всё уравнение. Определитель системы — вронскиан W = y₁y₂′ − y₂y₁′, и для фундаментальной системы он не равен нулю. Из системы находим C₁′ и C₂′, интегрируем и получаем C₁ и C₂ с новыми постоянными.
Пример: y″ + y = 1/cos x. Характеристическое уравнение λ² + 1 = 0 даёт λ = ±i, поэтому y₁ = cos x, y₂ = sin x и W = cos²x + sin²x = 1. Система: C₁′cos x + C₂′sin x = 0 и −C₁′sin x + C₂′cos x = 1/cos x. Умножь первое уравнение на cos x, второе на sin x и вычти: C₁′ = −tg x. Затем умножь первое на sin x, второе на cos x и сложи: C₂′ = 1.
Интегрируем: C₁ = ln|cos x| + K₁ и C₂ = x + K₂. Ответ: y = K₁cos x + K₂sin x + cos x·ln|cos x| + x·sin x. Проверим частное решение yч = cos x·ln|cos x| + x·sin x. Его производные: yч′ = −sin x·ln|cos x| + x·cos x и yч″ = −cos x·ln|cos x| + sin²x/cos x + cos x − x·sin x. Тогда yч″ + yч = sin²x/cos x + cos x = 1/cos x, как и требовалось.
Можно ли проверить решение калькулятором, если ответ не сходится с задачником?
Можно, если использовать калькулятор для проверки, а не для списывания. Сначала реши уравнение сам: найди корни, определи вид yч, вычисли коэффициенты. Потом открой калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации и решает пошагово, как на парах, в том числе линейные уравнения с постоянными коэффициентами: показывает подбор частного решения и вариацию постоянных.
Если ответ расходится с твоим, сравнивай не итог, а шаги. Чаще всего ошибка прячется в трёх местах: неверно найден корень характеристического уравнения, забыт множитель x при резонансе или допущена арифметическая ошибка при приравнивании коэффициентов. Каждый ответ калькулятор проверяет подстановкой и строит график. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт, а в Telegram-боте @prepodoff_bot PDF присылает бот, и решением можно поделиться с однокурсником.
Чтобы к экзамену по ДУ не накопился хвост, повторяй типы уравнений по расписанию. «Мой план» — бесплатный планировщик студента в Telegram (@prepodoff_bot): там хранятся пары и дедлайны, приходят напоминания, а ИИ-тренер составляет план подготовки к экзамену и объясняет теорию. Итог по теме простой: найди yо, подбери yч по правой части, проверь резонанс, запиши y = yо + yч и подставь ответ в уравнение.
