Что такое однородное дифференциальное уравнение первого порядка?
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка — это уравнение вида y′ = f(y/x), правая часть которого зависит только от отношения y к x. Решают его заменой y = ux, где u — новая неизвестная функция от x. Тогда y′ = u + xu′, переменные разделяются, и остаётся проинтегрировать обе части и вернуться к y. Всё решение укладывается в пять коротких шагов.
Почему я не вижу, что уравнение однородное?
Знакомая ситуация: в задании написано «решить уравнение», подсказки нет, а перед глазами дробь из иксов и игреков. Ты пробуешь разделить переменные — не выходит, пробуешь линейное — тоже мимо. Про однородные уравнения вспоминаешь, когда полчаса уже потрачено. Дело ещё и в том, что слово «однородное» в дифурах встречается в разных смыслах, и два из них легко перепутать. В линейных уравнениях однородным называют уравнение без свободного члена, например y′ + p(x)y = 0. Здесь речь о другом: об однородности по x и y.
В этой теме однородность — свойство самой правой части: если умножить и x, и y на одно и то же число, выражение не меняется. Проверяется это за полминуту, а дальше метод один и тот же для любого такого уравнения. Мы разберём признак, затем алгоритм, затем три примера: два на общее решение и один с задачей Коши. Диффуры на этом типе перестают казаться хаосом.
Зачем вообще нужна эта тема, если есть разделяющиеся переменные? Затем, что однородное уравнение само по себе переменные не разделяет: x и y в нём перемешаны в дроби. Замена как раз и делает из него уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому однородные ОДУ почти всегда идут в курсе сразу после разделения и считаются мостом к более сложным типам, например к линейным уравнениям и уравнению Бернулли.
Как понять, что дифференциальное уравнение однородное?
Если уравнение записано в виде y′ = f(x, y), подставь вместо x выражение tx, а вместо y выражение ty, где t — любое число, не равное нулю. Уравнение однородное, когда функция после этого не изменилась: f(tx, ty) = f(x, y). Например, для y′ = (x + y)/x получаем (tx + ty)/(tx) = (x + y)/x. Параметр t сократился, значит, уравнение однородное.
Вторая запись ДУ — M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Здесь однородность означает, что M и N — однородные функции одной и той же степени: при замене x на tx и y на ty обе получают множитель tⁿ с одним и тем же n. Например, в уравнении (x² + y²) dx − 2xy dy = 0 обе функции имеют степень 2, поэтому оно однородное.
Контрпример тоже полезен. В уравнении y′ = (x + y + 1)/x после подстановки tx и ty в числителе остаётся единица без множителя t, и функция меняется. Это не однородное уравнение: его решают другим способом, например как линейное. Для дробей из многочленов есть быстрый признак: все слагаемые числителя и знаменателя должны иметь одинаковую суммарную степень по x и y.
Как решать однородное уравнение: алгоритм по шагам
Шаг первый: убедись, что уравнение однородное, и приведи его к виду y′ = f(y/x), разделив числитель и знаменатель на подходящую степень x. Шаг второй: сделай замену y = ux, где u — функция от x. По правилу производной произведения y′ = u + xu′. Шаг третий: подставь замену в уравнение и получи, что xu′ = f(u) − u.
Шаг четвёртый: раздели переменные. Получится равенство: du/(f(u) − u) = dx/x. Проинтегрируй обе части: слева по u, справа по x. Шаг пятый: вернись к исходной функции, подставив u = y/x. Отдельно реши уравнение f(u) − u = 0: каждый его корень u = u₀ даёт потерянное решение y = u₀x, которое нужно включить в ответ или записать отдельно.
Почему это работает? Замена y = ux превращает зависимость от двух величин в зависимость от одной: правая часть теперь содержит только u, а x из неё ушёл. Уравнение, где с одной стороны только u, а с другой только x, — это обычные разделяющиеся переменные. Так однородное ОДУ сводится к более простому типу, и в этом главная идея метода.
Пример 1: как решить уравнение y′ = (x² + y²)/(xy)?
Проверяем однородность: числитель и знаменатель имеют степень 2, значит, уравнение однородное. Делим числитель и знаменатель на x²: y′ = (1 + (y/x)²)/(y/x). Подставляем y = ux и y′ = u + xu′. Получаем равенство: u + xu′ = (1 + u²)/u. Переносим u вправо, и остаётся: xu′ = (1 + u²)/u − u = 1/u.
Разделяем переменные: u du = dx/x. Интегрируем: u²/2 = ln|x| + C₁. Возвращаемся к y, подставив u = y/x: y²/(2x²) = ln|x| + C₁. Умножаем на 2x² и обозначаем 2C₁ через C. Получается общий интеграл: y² = x²(2 ln|x| + C). Потерянных решений здесь нет, потому что выражение f(u) − u = 1/u никогда не равно нулю.
Проверяем подстановкой. Продифференцируем ответ: 2yy′ = 2x(2 ln|x| + C) + 2x. Так как x(2 ln|x| + C) = y²/x, после деления на 2y получаем y′ = (y²/x + x)/y = (y² + x²)/(xy). Это в точности исходное уравнение, значит, решение верное. При желании ответ можно записать и явно: y = ±x√(2 ln|x| + C), там, где выражение под корнем положительно. Но если в задании не просят явный вид, общего интеграла достаточно.
Пример 2: как найти решение y′ = y/x + tg(y/x)?
Здесь правая часть уже записана через y/x, поэтому уравнение однородное сразу. Подставляем y = ux: u + xu′ = u + tg u. Слагаемые u сокращаются, остаётся xu′ = tg u. Разделяем переменные: du/tg u = dx/x. Это возможно при условии, что tg u ≠ 0, поэтому такие случаи придётся рассмотреть отдельно.
Интегрируем: слева получается ∫ cos u/sin u du = ln|sin u|, поэтому ln|sin u| = ln|x| + ln|C|. Потенцируем: sin u = Cx. Возвращаем u = y/x и получаем общий интеграл: sin(y/x) = Cx. Теперь потерянные решения: tg u = 0 при u = πk, где k — целое число. Это прямые y = πkx. Они входят в ответ при C = 0, ведь тогда sin(y/x) = 0, то есть y/x = πk.
Проверка: продифференцируем равенство sin(y/x) = Cx. Слева по правилу сложной функции получим cos(y/x) · (xy′ − y)/x². Справа стоит C, а C = sin(y/x)/x. Приравниваем и сокращаем на cos(y/x): (xy′ − y)/x = tg(y/x), откуда y′ = y/x + tg(y/x). Совпало с условием, ответ верный. Сокращать на cos(y/x) можно: там, где cos(y/x) = 0, сама функция tg(y/x) не определена, и такие точки в задачу не входят.
Обрати внимание на одну деталь. Если бы ты поделил на tg u и не вспомнил про случай tg u = 0, ответ всё равно выглядел бы аккуратно, но прямые y = πkx из него бы выпали. Именно такие потери преподаватели замечают на контрольных, поэтому после деления на выражение с u всегда задавай себе вопрос: а что, если оно равно нулю?
Пример 3: как решить задачу Коши для однородного уравнения?
Найдём решение уравнения y′ = (y² − x²)/(2xy) с условием y(1) = 1. Числитель и знаменатель имеют одинаковую степень, уравнение однородное. Делим на x²: y′ = (u² − 1)/(2u), где u = y/x. Подставляем y = ux: u + xu′ = (u² − 1)/(2u). Тогда xu′ = (u² − 1)/(2u) − u = (u² − 1 − 2u²)/(2u) = −(1 + u²)/(2u).
Разделяем переменные: 2u du/(1 + u²) = −dx/x. Интегрируем: ln(1 + u²) = −ln|x| + ln|C|, то есть 1 + u² = C/x. Подставляем u = y/x: (x² + y²)/x² = C/x. Умножаем на x² и получаем общий интеграл: x² + y² = Cx. Это семейство окружностей, проходящих через начало координат. Потерянных решений нет: 1 + u² никогда не обращается в нуль.
Теперь используем условие y(1) = 1. Подставляем x = 1 и y = 1: 1 + 1 = C, поэтому C = 2. Частное решение: x² + y² = 2x, или (x − 1)² + y² = 1. Это окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом 1. Так как y(1) = 1 > 0, нужна верхняя половина: y = √(2x − x²) при 0 < x < 2. Проверка: из y² = 2x − x² следует y′ = (1 − x)/y, а (y² − x²)/(2xy) = (2x − 2x²)/(2xy) = (1 − x)/y.
Какие ошибки чаще всего делают в однородных уравнениях?
Первая ошибка — неверная производная после замены: y′ = u′ или y′ = xu′. На самом деле y = ux — произведение, поэтому y′ = u + xu′. Без слагаемого u уравнение получится другим, и решение разойдётся с ответом в задачнике. Вторая ошибка — делить на f(u) − u, не проверив, обращается ли это выражение в нуль: каждый корень даёт отдельное решение y = u₀x. Третья — забыть вернуться от u к y.
Четвёртая ошибка — неаккуратная работа с логарифмами и постоянной. Удобно сразу писать постоянную как ln|C|, тогда потенцирование проходит без лишних модулей. Пятая — желание выразить y явно, когда это не нужно. Если преподаватель не просит явное решение, оставь общий интеграл, как в примерах выше. И всегда проверяй себя: продифференцируй ответ и подставь его в исходное уравнение.
Чтобы увидеть ход решения и сверить свой результат, открой бесплатный калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff. Он работает онлайн, без регистрации, решает однородные уравнения пошагово, проверяет ответ подстановкой и строит график. Пользуйся им после того, как решил сам: сравни замену, промежуточные шаги и итог и найди место, где твоё решение разошлось с верным.
Можно ли заменить x = vy и что делать, если замена не помогает?
Можно ли вместо y = ux взять x = vy? Да, для однородного уравнения подходит и она. Тогда dx = v dy + y dv, а дальше всё идёт так же: переменные разделяются, только теперь независимой переменной служит y. Иногда это удобнее, например когда уравнение записано через дифференциалы M dx + N dy = 0 и функция N проще, чем M. Но по умолчанию начинай с y = ux: она привычнее.
Что делать, если после замены переменные не разделились? Значит, уравнение не однородное или в выкладках ошибка. Вернись к проверке f(tx, ty) = f(x, y). Мешают свободные члены в дроби y′ = f((a₁x + b₁y + c₁)/(a₂x + b₂y + c₂))? Если прямые a₁x + b₁y + c₁ = 0 и a₂x + b₂y + c₂ = 0 пересекаются, перенеси начало координат в точку пересечения, и уравнение станет однородным. А если интеграл ∫ du/(f(u) − u) не берётся сразу, разложи дробь на простейшие: идея замены тут не виновата.
Итог такой. Узнаём однородность по условию f(tx, ty) = f(x, y), заменяем y = ux, разделяем переменные, интегрируем, возвращаемся к y и не забываем про потерянные решения y = u₀x. Решай свои примеры сам, а затем проверяй ход и ответ в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff: зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. А расписание подготовки к экзамену по ДУ удобно вести в «Моём плане» в Telegram.
