Геометрия ОГЭ: какую теорию выучить в первую очередь
Для первой части хватает рабочего минимума: сумма углов треугольника, свойства равнобедренного и прямоугольного треугольника, теорема Пифагора, синус, косинус и тангенс острого угла, свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника и трапеции, центральный и вписанный угол, касательная к окружности и основные формулы площадей. Это два-три десятка фактов. Учить их нужно не списком, а сразу на задачах из открытого банка ФИПИ, по одной теме за раз.
«Не помню ни одной теоремы»: почему геометрия кажется провалом
Знакомая картина: алгебру ты ещё как-то вытягиваешь, а на геометрии открываешь задачу с трапецией и понимаешь, что не помнишь вообще ничего. Ни формулы площади, ни свойства диагоналей, ни того, чем медиана отличается от биссектрисы. Учитель говорит, что без геометрии экзамен не сдать, и от этого становится только хуже. Кажется, что нужно заново пройти три года учебника, а до мая осталось совсем немного.
На самом деле проблема обычно не в голове, а в том, как геометрию проходили. Теоремы давали с доказательствами, доказательства учили к контрольной и забывали через неделю. Каждый год появлялась новая тема, а старые никто не повторял. В итоге в памяти осталось ощущение «я это когда-то знал», но ни одного факта, который можно применить. Это лечится, потому что для первой части доказательства не нужны — нужны сами факты и умение их узнавать на чертеже.
Вторая причина — геометрию учат отдельно от задач. Ты читаешь «вписанный угол равен половине центрального» и киваешь, а потом видишь окружность с тремя точками и не понимаешь, где тут вписанный угол. Теорема без картинки в голове не работает. Поэтому план ниже устроен так: каждый факт сразу привязан к типовому чертежу, на котором он встречается в заданиях. Выучил факт — решил несколько задач — перешёл к следующему.
Треугольники на ОГЭ: какие теоремы и свойства нужны
Начни с треугольника, потому что он есть почти в каждой задаче, даже если на чертеже нарисован ромб или окружность. База такая: сумма углов треугольника равна 180 градусам, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а медиана, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой и высотой. Эти три факта закрывают большую часть задач на углы.
Дальше прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Синус острого угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего к прилежащему. Катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. Медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. Сумма острых углов прямоугольного треугольника — 90 градусов. С этим набором ты решаешь задачи на стороны почти без вычислений.
Последний блок — подобие и средняя линия. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны, и их стороны пропорциональны. Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине. Подобие кажется сложным, но в задачах оно обычно выглядит просто: прямая, параллельная стороне, отсекает маленький треугольник, похожий на большой. Нарисуй такой чертёж сам пару раз, и ты начнёшь узнавать его в любой задаче.
Четырёхугольники: свойства параллелограмма, ромба и трапеции
У параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Это главное, что нужно помнить, потому что прямоугольник, ромб и квадрат — тоже параллелограммы и наследуют все эти свойства. Сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна 360 градусам — полезно, когда не знаешь, с чего начать.
Теперь особые случаи. У прямоугольника диагонали равны. У ромба все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят его углы пополам. Квадрат совмещает свойства прямоугольника и ромба. Когда в задаче написано «ромб», первым делом проведи диагонали: они разобьют фигуру на четыре равных прямоугольных треугольника, и дальше работают уже знакомые Пифагор и тригонометрия.
Трапеция — фигура, в которой две стороны параллельны, это основания. Углы, прилежащие к боковой стороне, в сумме дают 180 градусов. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. В равнобедренной трапеции углы при основании равны и диагонали равны. Если в задаче не хватает данных, опусти высоту из вершины меньшего основания: получится прямоугольный треугольник, и задача обычно сводится к нему.
Окружность на ОГЭ: вписанный угол, касательная и хорды
Окружность пугает больше всего, хотя фактов про неё немного. Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности, он равен дуге, на которую опирается. Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, он равен половине дуги, на которую опирается, то есть половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой — это самый частый ход в задачах.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны. Если на чертеже есть касательная, сразу дорисуй радиус в точку касания: появится прямой угол, а значит, прямоугольный треугольник и теорема Пифагора. Ещё полезно помнить, что радиус, перпендикулярный хорде, делит её пополам, а любые два радиуса образуют с хордой равнобедренный треугольник.
Отдельно стоят вписанные и описанные четырёхугольники. Если четырёхугольник вписан в окружность, сумма его противоположных углов равна 180 градусам. Если окружность вписана в четырёхугольник, суммы его противоположных сторон равны. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, поэтому радиус равен половине гипотенузы. Эти факты легко перепутать, так что запиши их на одну карточку с двумя чертежами рядом.
Формулы площадей для ОГЭ: что держать в голове
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Для прямоугольного треугольника это половина произведения катетов. Есть ещё формула через две стороны и угол между ними: половина произведения сторон на синус угла. Площадь параллелограмма — сторона на высоту к ней, прямоугольника — произведение сторон. Площадь ромба можно найти как половину произведения диагоналей, площадь трапеции — как полусумму оснований, умноженную на высоту.
Для круга нужны две формулы: длина окружности равна двум пи эр, площадь круга — пи эр в квадрате. Часто в задачах на клетчатой бумаге фигуру проще не считать по формуле, а достроить до прямоугольника и вычесть лишние треугольники. Этот приём выручает, когда формула вылетела из головы. Площадь в клетках удобно проверять подсчётом: если ответ получился дробным там, где фигура явно занимает целые клетки, где-то ошибка.
На экзамене выдают справочные материалы, и в них есть часть формул. Какие именно — посмотри заранее в демоверсии на сайте ФИПИ для своего года. Но надеяться только на справку не стоит: искать нужную строчку на нервах дольше, чем вспомнить, и формула ничего не даст, если ты не видишь, к какой фигуре её применить. Справочник — страховка, а не замена знанию.
Как выучить теорию по геометрии за несколько недель
Раздели минимум на четыре блока: треугольники, четырёхугольники, окружность, площади. На каждый блок отведи неделю. В первый день выпиши факты блока на карточки: на одной стороне чертёж, на другой — формулировка своими словами. Не переписывай учебник, пиши коротко: «ромб — диагонали под прямым углом, делят углы пополам». Карточки, сделанные своей рукой, запоминаются лучше готовых шпаргалок.
Со второго дня решай задачи из открытого банка ФИПИ только по этому блоку. После каждой задачи спроси себя, какой факт сработал, и отметь его на карточке. Через несколько дней станет видно, какие свойства ты используешь постоянно, а какие ни разу. Те, что не используешь, перечитай и найди задачи именно на них. В конце недели — короткая проверка: перемешай карточки, назови свойство по чертежу, не подглядывая.
Чтобы не собирать задачи по темам вручную, удобно заниматься в разделе подготовки к ОГЭ на Prepodoff: там бесплатно есть теория по темам ФИПИ, тренажёры по геометрии и разборы решений. Аккаунт нужен только для того, чтобы сохранялся прогресс и было видно, какие темы уже закрыты. Не забывай и про задание, где нужно выбрать верные утверждения: это чистая теория, и после карточек оно решается почти без вычислений.
Когда все четыре блока пройдены, не бросай карточки. Раз в несколько дней перебирай всю стопку и решай пару смешанных задач, где заранее не сказано, какая тема. Именно так задачи выглядят на экзамене: никто не подписывает, что здесь нужен вписанный угол. Смешанная практика учит самому сложному — по чертежу понять, какой факт достать из памяти, а не просто вспомнить формулировку.
Можно ли сдать ОГЭ по математике, если совсем не понимаешь геометрию?
Пропустить геометрию целиком не получится. В критериях оценивания есть требование набрать часть баллов именно за геометрические задания, поэтому даже идеальная алгебра не гарантирует результат. Точную формулировку правила проверь в документах ФИПИ на свой год, но вывод от этого не меняется: геометрия обязательна, и нужно хотя бы несколько задач, которые ты решаешь уверенно.
Хорошая новость в том, что для этого не нужно понимать геометрию так, как её понимают отличники. Достаточно взять самые частые сюжеты — прямоугольный треугольник, параллелограмм, вписанный угол, площадь на клетках — и довести их до автоматизма. Это реально сделать за пару месяцев спокойной работы, даже если сейчас ты не помнишь, чему равна сумма углов треугольника.
Что делать, если теорему выучил, а в задаче всё равно ступор? Перерисуй чертёж крупно, подпиши все данные и отметь, что нужно найти. Потом пройди по списку: есть ли прямой угол, равные стороны, параллельные прямые, окружность с радиусом. Каждая такая деталь подсказывает конкретный факт. Если идей нет и после этого, посмотри разбор — и обязательно реши похожую задачу на следующий день сам.
Итог: рабочий минимум вместо трёх лет учебника
Геометрия на ОГЭ не требует знать все теоремы школьного курса. Нужен рабочий набор из двух-трёх десятков фактов про треугольники, четырёхугольники, окружности и площади, и умение узнавать их на чертеже. Учи их блоками, сразу на задачах, с карточками, которые сделал сам. Тогда к экзамену у тебя будет не смутное «я это проходил», а набор приёмов, которые срабатывают.
Главная ошибка тех, кто боится геометрии, — откладывать её на конец подготовки в надежде добрать баллы алгеброй. Так не получится: геометрия требует времени, чтобы факты улеглись и начали узнаваться на чертеже. Лучше заниматься понемногу, но регулярно, параллельно с алгеброй. Полчаса геометрии через день дают больше, чем пять часов подряд в последнюю неделю перед экзаменом.
Если хочется заниматься по готовой структуре, открой раздел подготовки к ОГЭ на Prepodoff: теория по темам ФИПИ, тренажёры и разборы там бесплатные. А если трудно держать ритм, в планировщике «Мой план» в Telegram ИИ-тренер составит план подготовки к экзамену, объяснит непонятную теорию и разберёт твоё решение. Начни с треугольников уже на этой неделе — дальше будет проще.
