Корни и степени на ОГЭ: короткий ответ
Задания с корнями и степенями на ОГЭ проверяют не знание редких формул, а аккуратность. Хватает пяти правил для степеней, трёх для корней и привычки следить за знаком. Отрицательная степень — это дробь: два в минус третьей равно одной восьмой. Множитель из-под корня выносят так: ищут внутри полный квадрат, например √72 = √(36 · 2) = 6√2. Остальное — тренировка на типовых выражениях, пока руки не начнут делать это сами.
Почему путаешься в степенях и корнях, хотя тему проходили
Знакомая картина: на уроке всё понятно, учитель показал, ты кивнул. А потом в пробнике видишь пять в минус второй, умноженное на пять в четвёртой, и рука замирает. Складывать показатели или умножать? А минус куда девать? Ты вроде хорошист, а тут теряешь баллы на примере, который решается в одну строку. Обидно вдвойне, потому что сложного в нём ничего нет — просто правило всплыло не тем концом.
Причина обычно не в том, что ты чего-то не понял. Степени проходят в седьмом классе, корни — в восьмом, и к девятому правила успевают смешаться в одну кашу. Они похожи друг на друга: где-то складываем, где-то умножаем, где-то делим. Если правило не закреплено десятками примеров, мозг подставляет первое попавшееся. Особенно под давлением, когда на экзамене тикает время и хочется побыстрее.
Вторая причина — привычка решать в уме. Хорошисты часто считают быстро и записывают только ответ. На простых примерах это работает, а на выражении с тремя степенями и корнем одна потерянная скобка или минус ломает всё. Поэтому дальше мы не будем зубрить таблицу, а разберём правила так, чтобы каждое можно было проверить на маленьком числе за десять секунд. Это и есть лучшая защита от путаницы.
Правила действий со степенями: что нужно помнить
Основа одна: степень — это сколько раз число умножили само на себя. Два в кубе — это 2 · 2 · 2 = 8. Из этого вытекают все правила. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: 2³ · 2² = 2⁵. Проверка простая: 8 · 4 = 32, а 2⁵ тоже 32. При делении показатели вычитают: 3⁵ : 3³ = 3² = 9. Если основания разные, эти правила не работают, сначала ищи способ привести к одному основанию.
При возведении степени в степень показатели перемножают: (2³)² = 2⁶ = 64. Здесь чаще всего путаются со сложением, поэтому проверяй: (2³)² — это 8², то есть 64, а не 2⁵ = 32. Ещё два правила: степень произведения равна произведению степеней, (2 · 5)³ = 2³ · 5³ = 1000, и степень дроби — это степень числителя, делённая на степень знаменателя. Последнее особенно удобно, когда в задании дробь в квадрате или кубе.
И отдельно про ноль: любое число, кроме нуля, в нулевой степени равно единице. Это не магия, а следствие правила деления: 5³ : 5³ = 5⁰, а с другой стороны это 125 : 125 = 1. Если запомнить, откуда правило берётся, его уже не забудешь. Так работает весь набор: правила не нужно хранить отдельно в памяти, они выводятся из того, что степень — это повторное умножение.
Что делать с отрицательной степенью
Отрицательная степень пугает больше всего, хотя правило у неё одно: число в минус энной степени равно единице, делённой на это число в энной степени. То есть 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Минус в показателе не делает число отрицательным, он переворачивает его в дробь. Это главная ловушка: многие пишут 2⁻³ = −8 и теряют задание целиком. Запомни: минус наверху — значит, число уходит в знаменатель.
Откуда это правило, тоже легко понять. Возьми 2² : 2⁵. По правилу деления получится 2⁻³. А если посчитать напрямую, это 4 : 32 = 1/8. Значит, 2⁻³ и правда одна восьмая. С дробями ещё проще: дробь в отрицательной степени переворачивается, а показатель становится положительным. Например, (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4. А 0,5⁻² — это (1/2)⁻², то есть 2² = 4.
Чаще всего на ОГЭ отрицательные степени встречаются вместе с обычными, и их нужно просто собрать по правилам. Пример: 5⁻² · 5⁴ = 5² = 25. Показатели складываются с учётом знака: минус два плюс четыре — два. Или 10⁻³ — это 0,001, такое часто бывает в записи чисел в стандартном виде. Главное — не переводить каждую степень в дробь по отдельности, а сначала собрать показатели, а уже потом считать.
Как вынести множитель из-под корня и внести обратно
Вынести множитель из-под корня — значит найти внутри полный квадрат и извлечь его. Берёшь число под корнем и раскладываешь на два множителя так, чтобы один был квадратом: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Например, √72 = √(36 · 2) = 6√2. Или √50 = √(25 · 2) = 5√2. Важно выбирать самый большой квадрат: если взять √72 = √(4 · 18) = 2√18, придётся выносить ещё раз.
Почему так можно: корень из произведения неотрицательных чисел равен произведению корней. То есть √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2. Это правило работает и в обратную сторону — так множитель вносят под корень. Число перед корнем возводят в квадрат и умножают на то, что внутри: 3√2 = √(9 · 2) = √18. Внесение полезно, когда нужно сравнить два числа, например 3√5 и √44. Получаем √45 и √44, значит, первое больше.
Чтобы не тормозить на разложении, выучи квадраты чисел до двадцати — это займёт один вечер, а сэкономит минуты на экзамене. Если сразу не видно, какой квадрат прячется в числе, дели на маленькие квадраты по очереди: на 4, на 9, на 25. Например, 48 делится на 16, получаем 4√3. Под корнем в ответе должно остаться число без квадратных множителей, иначе задание обычно не доведено до конца.
Типовые выражения с корнями в заданиях ОГЭ
Первый тип — сумма корней. Складывать можно только одинаковые корни, как подобные слагаемые: 5√2 + 3√2 = 8√2. Поэтому, если видишь √50 + √18, сначала вынеси множители: 5√2 + 3√2 = 8√2. Частая ошибка — сложить числа под корнями: √50 + √18 ≠ √68. Проверка на маленьких числах сразу это показывает: √9 + √16 = 3 + 4 = 7, а √25 = 5. Корень из суммы не равен сумме корней.
Второй тип — произведение и частное корней. Здесь наоборот: умножать и делить под одним корнем можно. √12 · √3 = √36 = 6. √98 : √2 = √49 = 7. Такие примеры специально подбирают так, чтобы под корнем получился полный квадрат. Если у тебя вышло что-то некрасивое вроде √37, это повод перепроверить: скорее всего, где-то перепутал умножение со сложением или неправильно вынес множитель.
Третий тип — формулы сокращённого умножения с корнями. Разность квадратов убирает корни: (√7 − 2)(√7 + 2) = 7 − 4 = 3. Квадрат суммы оставляет удвоенное произведение: (√3 + 1)² = 3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3. Здесь теряют средний член, когда пишут просто 3 + 1. Если формулы сокращённого умножения сидят нетвёрдо, повтори их отдельно: без них такие выражения не упростить.
Ошибки со знаками: минус в степени и под корнем
Самая коварная ошибка — путаница со скобками. (−2)⁴ = 16, потому что минус возводится в степень вместе с двойкой, и четыре минуса дают плюс. А −2⁴ = −16, потому что в степень возводится только двойка, а минус стоит перед всем выражением. На письме разница — одна пара скобок, а в ответе — знак. Перед тем как считать, всегда смотри, что именно стоит под степенью.
Второе правило знаков: отрицательное число в чётной степени даёт плюс, в нечётной — минус. (−3)² = 9, (−3)³ = −27. С отрицательным показателем это тоже работает: (−2)⁻³ = 1/(−2)³ = −1/8. Получается, что минус в основании отвечает за знак ответа, а минус в показателе — за то, что число уходит в знаменатель. Если держать эти две роли раздельно, путаница исчезает.
Третья ловушка — корень из квадрата. √(a²) равен не a, а модулю a. То есть √((−5)²) = √25 = 5, а не −5. Арифметический квадратный корень всегда неотрицательный, а корень из отрицательного числа не определён. Если в выражении вроде √((3 − √10)²) ты получил отрицательный ответ, остановись: нужно взять модуль, и ответ будет √10 − 3.
Как отработать корни и степени, чтобы не путаться на экзамене
Правила сами по себе не держатся — их закрепляет только количество решённых примеров. Хорошая схема: каждый день по десять–пятнадцать коротких выражений на степени и корни в течение пары недель. Не надо решать часами, лучше понемногу, но регулярно. Каждую ошибку выписывай отдельно с пометкой, какое правило перепутал. Через неделю увидишь, что ошибаешься в одном и том же месте, и именно его нужно добить.
Решай с полной записью, а не в уме. Каждый шаг — отдельная строка: собрал показатели, вынес множитель, посчитал. Это кажется медленным, но на экзамене именно запись спасает от потерянного минуса. И привыкай делать быструю проверку: подставь в правило маленькое число и убедись, что оно работает. Десять секунд на проверку лучше, чем потерянный балл за задание, которое ты знал.
Чтобы не искать примеры по разным сайтам, удобно заниматься на бесплатных тренажёрах Prepodoff в разделе /oge. Там теория по темам ФИПИ и задания с разборами: решил, сверился, увидел, на каком шаге ушёл не туда. Если завести аккаунт, прогресс сохраняется, и видно, какие темы уже держатся, а какие нужно повторить. Так отработка степеней и корней превращается в короткую ежедневную привычку.
Что делать, если на экзамене забыл правило
Такое бывает даже у тех, кто готовился: волнение, и правило просто выпало из головы. Не паникуй и не угадывай. Любое правило степеней можно восстановить на маленьком числе прямо в черновике. Не помнишь, что делать при умножении? Посчитай 2² · 2³ = 4 · 8 = 32 = 2⁵ — значит, показатели складываются. Не помнишь про отрицательную степень? Раздели 2² на 2³, получишь 1/2, то есть 2⁻¹.
С корнями так же: проверяй правило на числах, у которых корни извлекаются. Можно ли складывать под корнем? √9 + √16 = 7, а √25 = 5 — нельзя. Можно ли умножать? √4 · √9 = 6, и √36 = 6 — можно. Такая проверка занимает полминуты, зато ты точно знаешь, что делаешь. И это гораздо надёжнее, чем пытаться вспомнить, как было в тетради.
Корни и степени — тема, в которой баллы теряют не от незнания, а от спешки и смешанных правил. Пять правил для степеней, умение выносить множитель и внимание к знакам закрывают почти всё. Остальное — практика на типовых выражениях. Начни с коротких заданий на бесплатных тренажёрах в /oge: разборы покажут, где именно ты ошибаешься, и через пару недель такие примеры перестанут пугать.
