Прогрессии на ОГЭ: коротко о главном
Прогрессии на ОГЭ — это последовательности чисел, где каждое следующее получается из предыдущего по одному правилу. В арифметической к числу каждый раз прибавляют одно и то же, в геометрической — умножают на одно и то же. Нужны четыре формулы: n-й член и сумма для каждого вида. Но многие задачи решаются и без них — достаточно аккуратно выписать члены по шагам и не ошибиться в счёте.
Путаю арифметическую и геометрическую прогрессию — почему так
Знакомая ситуация: на уроке всё понятно, а через неделю открываешь задачу и не можешь вспомнить, где там прибавлять, а где умножать. Формулы похожи, буквы похожи, обе называются прогрессиями — и в голове всё сливается в одну кашу. Ты подставляешь d вместо q, получаешь странный ответ и уже не понимаешь, ошибся в счёте или вообще взял не ту формулу.
Причина почти всегда одна: формулы учили отдельно от смысла. Если запомнить строчку a_n = a_1 + d(n − 1) как набор символов, она держится ровно до первой похожей строчки. А если понимать, что это просто «первое число плюс шаг столько раз, сколько шагов прошло», формулу не нужно хранить — её можно собрать заново за десять секунд прямо на экзамене.
Вторая причина — мало решённых задач подряд. Прогрессии в школе проходят быстро, потом переключаются на другие темы, и к весне навык успевает выветриться. Поэтому лечится путаница не повторным чтением конспекта, а серией из десятка коротких задач, где нужно каждый раз сначала определить вид прогрессии, а уже потом что-то считать.
Как по условию понять, какая перед тобой прогрессия
Первый вопрос к любой последовательности: что происходит между соседними числами. Возьми 3, 7, 11, 15. Вычти из второго первое, из третьего второе — каждый раз выходит 4. Разность постоянная, значит, прогрессия арифметическая с d = 4. Теперь 2, 6, 18, 54. Разности разные, зато если разделить второе на первое, третье на второе, всё время получается 3. Это геометрическая прогрессия с q = 3.
В текстовых задачах подсказка спрятана в словах. «На 2 километра больше каждый день», «каждый следующий ряд на 3 места длиннее», «каждый месяц откладывал на одну и ту же сумму больше» — это прибавление, то есть арифметическая прогрессия. «Удваивается каждый час», «уменьшается в три раза», «увеличивается в полтора раза ежегодно» — это умножение, значит, геометрическая.
Полезно проговорить это вслух или подписать на черновике прямо над условием: «+4, арифм.» или «×3, геом.». Звучит наивно, но именно этот шаг убирает большую часть ошибок. Пока ты не решил, с какой прогрессией работаешь, к формулам даже не притрагивайся — иначе рука сама подставит ту, что вспомнилась первой.
Бывает и третий вариант: последовательность вообще не прогрессия. Например, 1, 4, 9, 16 — разности 3, 5, 7 растут, частные тоже разные. Это квадраты чисел, и формулы прогрессий здесь не помогут. Такие задачи решаются по правилу, которое дано в условии, обычно через подстановку номера. Поэтому сначала проверь разности и частные, и только если одно из них постоянно, называй последовательность прогрессией.
Формулы арифметической прогрессии: что запомнить и как вывести
Формула n-го члена: a_n = a_1 + d(n − 1). Смысл простой. Чтобы дойти от первого члена до n-го, нужно сделать n − 1 шагов, и каждый шаг добавляет d. До второго члена — один шаг, до десятого — девять. Если запомнить именно эту картинку с шагами, формула восстанавливается сама, даже когда от волнения всё вылетело из головы.
Сумма первых n членов: S_n = (a_1 + a_n) · n / 2. Объяснение тоже наглядное: если сложить первый и последний член, второй и предпоследний и так далее, каждая пара даёт одно и то же число. Пар получается n / 2, поэтому сумму одной пары умножаем на количество пар. Когда последний член неизвестен, его сначала находят по первой формуле, а потом подставляют сюда.
Пример из классики: в первом ряду амфитеатра 20 мест, в каждом следующем на 3 больше. В десятом ряду 20 + 3 · 9 = 47 мест. Всего в десяти рядах (20 + 47) · 10 / 2 = 335 мест. Если хочешь закрепить формулы на похожих задачах, в разделе подготовки к ОГЭ на Prepodoff есть теория по прогрессиям и тренажёр с разборами — бесплатно, а с аккаунтом сохраняется прогресс.
Формулы геометрической прогрессии: n-й член и сумма без зубрёжки
Формула n-го члена геометрической прогрессии устроена так же, как у арифметической, только шаг — умножение: b_n = b_1 · q^(n − 1). От первого члена до n-го снова n − 1 шагов, но каждый раз число умножается на q. Поэтому вместо «d раз столько-то» здесь появляется степень. Если держать в голове эту параллель, две формулы перестают путаться: прибавление превращается в умножение, умножение — в степень.
Сумма первых n членов: S_n = b_1 · (q^n − 1) / (q − 1), при условии что q не равно единице. Её вывод на экзамене восстанавливать долго, поэтому эту формулу стоит именно выучить и пару раз прописать руками. Хорошая проверка памяти: подставь маленький пример и посчитай сумму обычным сложением. Если ответы совпали, формула записана правильно.
Пример: b_1 = 3, q = 2. Шестой член равен 3 · 2^5 = 96. Сумма шести членов — 3 · (64 − 1) / (2 − 1) = 189. А теперь просто сложи 3, 6, 12, 24, 48 и 96 — выйдет те же 189. Такая сверка занимает полминуты и спасает от ошибки в степени, на которой спотыкаются чаще всего.
Задачи на прогрессии без формул: когда хватит счёта по шагам
Многие задачи на прогрессии ОГЭ спрашивают про небольшие номера: пятый член, сумму первых шести, на какой день впервые получится больше заданного числа. В таких случаях быстрее и надёжнее выписать последовательность целиком. Шесть-восемь чисел пишутся за минуту, ошибиться в формуле негде, а каждое число можно перепроверить взглядом. Формулы нужны, когда номер большой и выписывать члены по одному уже слишком долго.
Ещё один приём без формул — поиск разности по двум известным членам. Допустим, a_3 = 10, a_7 = 22. Между третьим и седьмым членом четыре шага, а выросло число на 12. Значит, один шаг — 12 / 4 = 3, то есть d = 3. Первый член — на два шага назад от третьего: 10 − 6 = 4. Никаких систем уравнений, только рассуждение про шаги.
Задачи вида «на какой день спортсмен впервые пробежит больше 10 километров» тоже удобно решать перебором. Выписываешь дни и расстояния, пока не перевалит за нужное число, и отвечаешь номером дня. Главное — внимательно прочитать, что спрашивают: номер дня, расстояние в этот день или общий путь за все дни. Это три разных ответа на одну и ту же последовательность.
Тот же приём работает и для геометрической прогрессии. Если b_2 = 6, а b_4 = 54, то между ними два шага умножения, и число выросло в 9 раз. Значит, q · q = 9, откуда q = 3 или q = −3. Второй вариант часто забывают, а в некоторых задачах именно он и нужен. Поэтому, когда знаменатель находится через квадрат, проверь оба знака и посмотри, какой подходит по условию.
Типичные ошибки в задачах на прогрессии и как их ловить
Самая частая ошибка — путаница между n и n − 1. Ученик пишет a_10 = a_1 + 10d вместо 9d и получает ответ, который отличается ровно на один шаг. Ловится просто: проверь формулу на втором члене. Если подставить n = 2 и получится a_1 + 2d, значит, где-то лишний шаг. Правильная формула для второго члена даёт ровно a_1 + d.
Вторая ловушка — отрицательные числа. Убывающая арифметическая прогрессия имеет отрицательную разность: 20, 17, 14 — это d = −3, а не 3. В геометрической знаменатель тоже бывает отрицательным: 5, −10, 20, −40 — здесь q = −2, и знаки членов чередуются. Если в ответе знак вышел не тот, первым делом проверь, не потерялся ли минус у d или q.
Третья ошибка — перепутать член и сумму. В условии просят «сколько всего мест в зале», а ты отвечаешь, сколько мест в последнем ряду. Или наоборот. Перед тем как записать ответ, перечитай последнее предложение задачи и спроси себя: мне нужно одно число из последовательности или всё сложенное вместе. Эта проверка занимает пять секунд, а баллы спасает регулярно.
Можно ли решить задачу на прогрессию, если забыл формулу?
Можно, и чаще, чем кажется. Формулу n-го члена выводишь из идеи шагов, сумму арифметической прогрессии — из идеи пар «первый плюс последний». Для небольших номеров формулы вообще не нужны: выписываешь члены и считаешь. Сложнее всего без памяти обойтись с суммой геометрической прогрессии, поэтому именно её стоит прописать руками несколько раз за время подготовки.
Заодно загляни в демоверсию ОГЭ по математике на сайте ФИПИ и посмотри, какие справочные материалы выдают вместе с заданиями. Узнать заранее, что будет перед глазами на экзамене, а что придётся держать в голове, полезнее, чем гадать. Но даже если формула окажется под рукой, понимать её смысл всё равно нужно — иначе не поймёшь, что куда подставлять.
Если тема никак не ложится и непонятно, сколько времени на неё выделить, можно попросить ИИ-тренера в «Моём плане» — мини-приложении бота @prepodoff_bot в Telegram. Он составит план подготовки к экзамену, объяснит теорию своими словами и разберёт решение, на котором ты застрял. Это удобно, когда вопрос возник вечером и спросить некого.
Как тренировать прогрессии, чтобы тема закрылась
Рабочая схема простая. Сначала один вечер на теорию: разобраться в двух видах прогрессий и четырёх формулах через идею шагов, прописать каждую формулу руками. Потом несколько коротких сессий по десять задач вперемешку, где в каждой сначала подписываешь вид прогрессии, а уже потом решаешь. Перемешивание важно: когда задачи идут одного типа подряд, мозг перестаёт различать виды, и путаница возвращается на экзамене.
После каждой сессии выпиши ошибки отдельно: где перепутал n и n − 1, где потерял минус, где ответил не на тот вопрос. Через пару дней реши похожие задачи ещё раз. Обычно уже после третьей-четвёртой тренировки виды прогрессий различаются автоматически, а формулы перестают быть набором букв и превращаются в понятное правило.
Чтобы не искать задачи по разным сайтам, удобно заниматься в разделе подготовки к ОГЭ на Prepodoff: там бесплатно есть теория по темам ФИПИ, тренажёр по прогрессиям и разборы решений. Аккаунт нужен только для того, чтобы сохранять прогресс и видеть, какие темы уже закрыты. Прогрессии — одна из тех тем, которую реально довести до уверенного уровня за несколько вечеров.
