Как решать задачи на теорию вероятностей в ОГЭ: коротко
Почти все задачи на вероятность в ОГЭ решаются одной формулой: вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех возможных исходов. Главное — честно посчитать оба числа. Сначала выпиши, что вообще может произойти, потом отметь, что подходит под условие, и только после этого дели. Ответ всегда лежит от нуля до единицы. Если вышло больше единицы — ошибка в подсчёте, а не в формуле.
Почему задача кажется простой, а ответ не сходится
Знакомая ситуация: читаешь условие про монетку или кубик, всё понятно, считаешь за минуту, сверяешься с ответом — и мимо. Второй раз то же самое, только с другой задачей. Начинает казаться, что вероятность — это какая-то лотерея, где правильный ответ угадывают. На самом деле это одна из самых предсказуемых тем во всём экзамене, и ошибаются в ней почти всегда в одних и тех же местах.
Главная причина — исходы считают «на глаз». Кажется, что у двух монеток три варианта: два орла, две решки, по одному. Кажется, что двузначных чисел девяносто девять. Кажется, что «остальные» в условии можно не считать. Мозг экономит силы и подсовывает быстрый ответ, который выглядит логично. Проверить его можно только одним способом — выписать исходы на бумаге, хотя бы для первых нескольких задач.
Вторая причина — невнимательность к вопросу. В условии спрашивают вероятность того, что батарейка исправна, а ты считаешь неисправные. Спрашивают «хотя бы один раз», а ты считаешь «ровно один раз». Решение верное, но ответ на другой вопрос. Поэтому привычка перечитать последнее предложение условия перед записью ответа экономит больше баллов, чем любая хитрая формула.
Классическая формула вероятности: что такое благоприятные и все исходы
Исход — это один конкретный результат опыта. Бросили кубик — выпало четыре, это исход. Вытянули билет номер семнадцать — тоже исход. Все исходы — это полный список того, что могло случиться. Благоприятные — те из них, которые подходят под вопрос задачи. Формула простая: вероятность равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех. Обозначают её буквой P, но на экзамене важнее не буква, а аккуратный подсчёт.
Формула работает, только если все исходы равновозможны. У честной монетки орёл и решка выпадают одинаково часто, у кубика каждая грань тоже. Поэтому в задачах ОГЭ обычно пишут «симметричная монета», «правильный кубик», «наудачу», «случайным образом». Эти слова — подсказка, что можно смело пользоваться классической формулой и не думать о подвохе с «кривой» монеткой или подпиленным кубиком.
Простой пример. Бросаем кубик один раз, какова вероятность, что выпадет чётное число? Все исходы: один, два, три, четыре, пять, шесть — их шесть. Благоприятные: два, четыре, шесть — их три. Делим три на шесть и получаем 0,5. Именно так, в два шага, стоит решать каждую задачу: сначала все исходы, потом благоприятные, потом деление. Даже если ответ видно сразу, этот порядок защищает от ошибок.
Задачи с монетками: почему у двух бросков четыре исхода, а не три
Монетку бросают дважды. Найди вероятность, что орёл выпадет ровно один раз. Самая частая ошибка — решить, что вариантов три: два орла, две решки, один орёл. Тогда ответ одна треть, и он неверный. Дело в том, что «один орёл» получается двумя разными способами: орёл, потом решка или решка, потом орёл. Это два отдельных исхода, и каждый из них равновозможен с «двумя орлами».
Правильный список выглядит так: ОО, ОР, РО, РР. Всего четыре исхода. Ровно один орёл — это ОР и РО, два исхода. Вероятность — два делить на четыре, то есть 0,5. А если спросят «хотя бы один орёл», подходят ОО, ОР и РО — три из четырёх, ответ 0,75. Видишь, как одно слово в условии меняет ответ, хотя монетка та же самая.
Для трёх бросков исходов уже восемь: каждый новый бросок удваивает их число. Выписывать удобно по порядку, как в таблице: ООО, ООР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР. Ровно два орла — ООР, ОРО, РОО, три исхода, вероятность три восьмых, то есть 0,375. Не ленись выписывать: восемь строк занимают полминуты, а ошибка в уме стоит целой задачи.
Задачи с кубиками: как считать исходы, когда кубиков два
С одним кубиком всё просто: шесть исходов, и благоприятные видно сразу. С двумя кубиками начинается путаница, потому что хочется считать суммы, а не пары. Сумм от двух до двенадцати всего одиннадцать, но они не равновозможны: сумма два выпадает одним способом, а сумма семь — шестью. Поэтому считать нужно не суммы, а пары чисел, где первое число — с первого кубика, второе — со второго.
Всего пар шесть на шесть, то есть тридцать шесть. Удобнее всего нарисовать таблицу: по строкам — первый кубик, по столбцам — второй, в клетках — сумма. Допустим, нужна вероятность, что в сумме выпадет восемь. Подходят пары два и шесть, три и пять, четыре и четыре, пять и три, шесть и два — пять исходов. Вероятность — пять тридцать шестых, примерно 0,14, если в условии просят округлить до сотых.
Обрати внимание: пары три и пять и пять и три — это разные исходы, их считают оба. А четыре и четыре — один исход, второй такой же пары нет. Именно здесь чаще всего теряют или добавляют лишний вариант. Таблица шесть на шесть рисуется за минуту и снимает все сомнения. Если боишься запутаться, обведи нужные клетки карандашом и просто посчитай их.
Билеты, пирожки и батарейки: задачи на выбор одного предмета
Самые частые задачи на вероятность в ОГЭ вообще без монеток и кубиков. В них из какого-то набора случайно выбирают один предмет: билет на экзамене, пирожок с тарелки, батарейку из партии, спортсмена для первого выступления. Все исходы здесь — это общее количество предметов, благоприятные — те, что подходят под вопрос. Ничего перебирать не нужно, достаточно аккуратно прочитать числа из условия.
Пример. На экзамене двадцать пять билетов, школьник выучил десять. Какова вероятность, что ему попадётся выученный билет? Все исходы — двадцать пять, благоприятные — десять, ответ 0,4. Другой пример: на тарелке двадцать пирожков, четыре с мясом, восемь с капустой, остальные с вишней. Вероятность взять пирожок с вишней: сначала считаем «остальные» — двадцать минус двенадцать, восемь. Восемь делить на двадцать — 0,4.
Ещё один популярный сюжет — брак. Из тысячи батареек в среднем шесть неисправных, найди вероятность, что выбранная батарейка исправна. Исправных девятьсот девяносто четыре, ответ 0,994. Ловушка в том, что в условии дано число неисправных, и рука сама пишет 0,006. Тут помогает правило: вероятность противоположного события равна единице минус вероятность самого события. Один минус 0,006 — те же 0,994.
Типичные ловушки в задачах на вероятность ОГЭ
Первая ловушка — неправильно посчитанные «все исходы» в задачах с числами. Наудачу выбирают двузначное число, какова вероятность, что оно делится на пять? Двузначных чисел не восемьдесят девять и не сто, а девяносто: от десяти до девяноста девяти включительно. Делятся на пять десять, пятнадцать и так далее до девяноста пяти — восемнадцать чисел. Ответ — восемнадцать девяностых, то есть 0,2.
Вторая ловушка — задачи с днями и порядком. Конференция идёт три дня, всего пятьдесят докладов, в первый день двадцать, остальные распределены поровну. Какова вероятность, что доклад конкретного человека будет в последний день? Сначала находим, сколько докладов в последний день: пятьдесят минус двадцать, тридцать, пополам — пятнадцать. Ответ — пятнадцать пятидесятых, 0,3. Ошибаются, когда делят на три дня, а не на число докладов.
Третья ловушка — перепутанный вопрос. «Хотя бы один», «ровно один», «не больше одного», «ни разу» — это четыре разных события. Ещё одна — ответ в виде обыкновенной дроби, когда в бланк нужна десятичная. Переводи дробь в десятичную и проверяй, что получилось число от нуля до единицы. Вероятность больше единицы или отрицательная не бывает никогда, и это самая быстрая проверка любого ответа.
Как тренировать теорию вероятностей, чтобы перестать ошибаться
Тема небольшая, и закрыть её можно за несколько вечеров. Начни с десяти простых задач на выбор одного предмета, чтобы формула стала автоматической. Потом переходи к монеткам и обязательно выписывай исходы, даже когда кажется, что и так ясно. Затем кубики с таблицей. На каждом этапе решай, пока не пойдёт пять задач подряд без ошибок, и только потом бери следующий тип.
Задачи бери из открытого банка ФИПИ — там именно те формулировки, которые встретятся на экзамене, со всеми «наудачу» и «остальные». Каждую ошибку записывай в отдельную тетрадь с пометкой, где именно сбился: не те исходы, не тот вопрос, не перевёл дробь. Через неделю окажется, что ошибок всего два-три вида, и с ними легко разобраться прицельно, а не перерешивать всё подряд.
Чтобы не собирать задачи по разным сайтам, можно заниматься в разделе подготовки к ОГЭ на Prepodoff. Там бесплатно есть теория по темам ФИПИ, тренажёры и разборы, в том числе по теории вероятностей. Решаешь задачу — сразу видишь, верно или нет, и можешь посмотреть разбор. Аккаунт нужен только для того, чтобы сохранялся прогресс и было видно, какие темы уже закрыты.
Что делать, если ответ получился не десятичной дробью?
Бывает, что после деления получается дробь вроде одной трети или пяти тридцать шестых, которую нельзя записать конечной десятичной. Сначала перепроверь подсчёт исходов: в простых задачах ОГЭ ответ обычно «красивый», и некрасивая дробь — повод пересчитать. Если всё сходится, перечитай условие: в задачах, где ответ не делится нацело, обычно прямо сказано, до скольких знаков округлить.
Если указание про округление есть, округляй строго по правилу: смотри на следующую цифру после нужного разряда. Пять тридцать шестых — это 0,138…, до сотых будет 0,14. Если указания нет, а дробь всё равно бесконечная, почти наверняка ошибка в счёте. Самые частые причины — посчитал суммы вместо пар на кубиках или пропустил исход у монеток. Вернись к таблице и проверь её по клеточкам.
Итог: теория вероятностей на ОГЭ — это аккуратный подсчёт
Вероятность на ОГЭ пугает только до тех пор, пока решаешь в уме. Как только начинаешь выписывать исходы, рисовать таблицу для кубиков и перечитывать вопрос перед ответом, задачи становятся одними из самых надёжных в работе. Формула одна, ловушек немного, и все они повторяются из года в год. Их достаточно один раз увидеть на своих ошибках, чтобы дальше не попадаться.
Если хочется закрыть тему спокойно и без поиска задач по всему интернету, заходи в бесплатный раздел подготовки к ОГЭ на Prepodoff. Там теория по теории вероятностей и другим темам ФИПИ, тренажёры и разборы решений. Несколько вечеров практики — и задачи про монетки, кубики и билеты перестанут быть лотереей, а станут понятными баллами, которые ты забираешь уверенно.
