Что такое резонанс в дифференциальном уравнении: короткий ответ
Резонанс в линейном дифференциальном уравнении с постоянными коэффициентами возникает, когда правая часть «попадает» в решения однородного уравнения: показатель α у eᵅˣ (или число α ± iβ у тригонометрической правой части) совпадает с корнем характеристического уравнения. Тогда пробное частное решение нужно домножить на xᵏ, где k — кратность этого корня. Без множителя подстановка приводит к противоречию (в простейшем случае к равенству 0 = f(x)), и коэффициенты не найти.
Алгоритм в двух строках: найди корни характеристического уравнения, сравни с ними показатель правой части, определи кратность k и запиши пробное решение с множителем xᵏ. Дальше работает обычный метод неопределённых коэффициентов: подставляешь, сокращаешь экспоненту и приравниваешь коэффициенты при одинаковых функциях. Если совпадения нет, k = 0, и форму пишут как обычно.
Почему частное решение при подстановке обращается в ноль?
Знакомая картина: решаешь неоднородное ДУ второго порядка, находишь корни характеристического уравнения, по правой части пишешь пробное решение с неопределённым коэффициентом A, подставляешь — и все слагаемые с A сокращаются. Остаётся что-то вроде 0 = eˣ. Начинаешь искать арифметическую ошибку, пересчитываешь по три раза, а ошибки нет. Дело не в арифметике: форма выбрана так, что сработать она не может.
Причина в том, что пробная функция сама оказалась решением однородного уравнения. Левая часть y″ + py′ + qy на таких функциях тождественно равна нулю при любом A. Из нуля нельзя получить ненулевую правую часть, как бы ты ни подбирал коэффициент. Это и называют резонансом: внешнее воздействие «звучит» на той же частоте, что и собственные колебания системы.
Хорошая новость: лекарство одно и простое. Пробную функцию домножают на x в нужной степени, и подбор снова работает. Главное — научиться замечать резонанс до подстановки, а не после неё. Для этого достаточно сначала посмотреть на корни, а уже потом писать форму частного решения. Так делают и в дифурах первого курса, и в более сложных задачах.
Как по правой части понять, что в уравнении есть резонанс?
Правило состоит из двух шагов. Сначала решаешь характеристическое уравнение однородного ДУ и выписываешь корни λ₁ и λ₂. Потом смотришь на правую часть. Если она имеет вид P(x)·eᵅˣ, где P(x) — многочлен, то число α сравнивают с корнями. Если в правой части есть cos βx или sin βx, умноженные на eᵅˣ, то сравнивают комплексное число α + iβ. Совпадение с корнем и означает резонанс.
Типичные случаи. Правая часть eˣ, корни 1 и 2: α = 1 совпало с корнем, резонанс. Правая часть sin 2x, корни ±2i: число 2i совпало с корнем, резонанс. Правая часть x² + 1 — это многочлен, умноженный на e⁰ˣ, поэтому сравнивать нужно α = 0. Если среди корней есть ноль, например в уравнении y″ + y′ = x, резонанс тоже есть, хотя на вид «просто многочлен».
Важная деталь: резонанс определяется только показателем, а не коэффициентами. Правые части 100eˣ и eˣ ведут себя одинаково. Многочлен перед экспонентой не влияет на сам факт совпадения, он влияет только на то, какой многочлен тебе придётся искать. Если совпадения нет, пробную функцию берут как обычно, и множитель x тогда не нужен.
На какую степень x умножать пробное решение?
Общая форма частного решения для правой части P(x)·eᵅˣ такая: y* = xᵏ · Q(x) · eᵅˣ. Здесь Q(x) — многочлен той же степени, что и P(x), с неопределёнными коэффициентами, а k — кратность α как корня характеристического уравнения. Если α не совпало ни с одним корнем, k = 0. Если совпало с простым корнем, k = 1. Если корень двукратный, k = 2. Для уравнения второго порядка больше двойки не бывает.
Для тригонометрической правой части форма такая: y* = xᵏ · eᵅˣ · (A cos βx + B sin βx). У уравнения с действительными коэффициентами комплексные корни приходят сопряжённой парой, поэтому для второго порядка k здесь равно либо 0, либо 1. Запомни: даже если справа стоит один синус, в пробной функции нужны оба слагаемых, и с косинусом, и с синусом. Иначе после дифференцирования не хватит свободы, чтобы подобрать коэффициенты.
Откуда берётся множитель x? Идея такая: если eᵅˣ уже обнуляется левой частью, нужна функция «на шаг сложнее», у которой после дифференцирования остаётся ненулевой остаток. Умножение на x как раз его создаёт. Двукратный корень обнуляет ещё и xeᵅˣ, поэтому там нужен уже x². Каждый раз ты поднимаешь степень ровно настолько, чтобы выйти за пределы решений однородного уравнения.
Как решить y″ − 3y′ + 2y = eˣ с простым резонансом?
Начнём с однородного уравнения y″ − 3y′ + 2y = 0. Характеристическое уравнение: λ² − 3λ + 2 = 0, корни λ₁ = 1 и λ₂ = 2. Общее решение однородного: C₁eˣ + C₂e²ˣ. Правая часть eˣ имеет показатель α = 1, и он совпадает с простым корнем λ₁ = 1. Значит, резонанс есть, и k = 1.
Сначала посмотри, что будет, если резонанс не заметить. Берём y* = Aeˣ, тогда y*′ = Aeˣ и y*″ = Aeˣ. Подстановка даёт A − 3A + 2A = 0, то есть 0 = 1 после сокращения на eˣ. Неверно при любом A. Теперь правильная форма: y* = Axeˣ. Производные: y*′ = A(x + 1)eˣ и y*″ = A(x + 2)eˣ.
Подставляем и сокращаем на eˣ: A(x + 2) − 3A(x + 1) + 2Ax = A(x + 2 − 3x − 3 + 2x) = −A. Получаем −A = 1, значит A = −1 и y* = −xeˣ. Ответ: y = C₁eˣ + C₂e²ˣ − xeˣ. Проверка: для y* = −xeˣ левая часть равна (−(x + 2) + 3(x + 1) − 2x)eˣ = (−x − 2 + 3x + 3 − 2x)eˣ = eˣ. Совпало с правой частью.
Как решить y″ + 4y = sin 2x, если резонанс тригонометрический?
Характеристическое уравнение: λ² + 4 = 0, корни λ = ±2i. Общее решение однородного: C₁ cos 2x + C₂ sin 2x. Правая часть sin 2x — это случай α = 0 и β = 2. Число α + iβ = 2i совпадает с корнем, значит, резонанс и в пробной функции нужен множитель x. Берём y* = x(A cos 2x + B sin 2x).
Находим производные. Первая: y*′ = A cos 2x + B sin 2x + x(−2A sin 2x + 2B cos 2x). Вторая: y*″ = −4A sin 2x + 4B cos 2x − 4x(A cos 2x + B sin 2x). Заметь, что последнее слагаемое равно −4y*, поэтому в сумме y*″ + 4y* оно сокращается. Это типичная картина резонанса: всё «сложное» уходит, остаётся короткое выражение.
Получаем y*″ + 4y* = −4A sin 2x + 4B cos 2x = sin 2x. Приравниваем коэффициенты: при sin 2x выходит −4A = 1, откуда A = −1/4, при cos 2x выходит 4B = 0, откуда B = 0. Частное решение: y* = −(x/4) cos 2x. Ответ: y = C₁ cos 2x + C₂ sin 2x − (x/4) cos 2x. Множитель x растёт, и амплитуда колебаний раскачивается: так выглядит физический резонанс.
Что делать, если корень двукратный: y″ − 4y′ + 4y = e²ˣ?
Характеристическое уравнение: λ² − 4λ + 4 = 0, то есть (λ − 2)² = 0, корень λ = 2 кратности 2. Общее решение однородного: (C₁ + C₂x)e²ˣ. Правая часть e²ˣ имеет α = 2 — совпадение с двукратным корнем, значит, k = 2. Здесь не помогут ни Ae²ˣ, ни Axe²ˣ: оба слагаемых уже входят в решение однородного уравнения и обнулят левую часть.
Берём y* = Ax²e²ˣ. Производные: y*′ = A(2x + 2x²)e²ˣ и y*″ = A(2 + 8x + 4x²)e²ˣ. Подставляем и сокращаем на e²ˣ: A(2 + 8x + 4x²) − 4A(2x + 2x²) + 4Ax² = A(2 + 8x + 4x² − 8x − 8x² + 4x²) = 2A. Все слагаемые с x сократились, и это хороший знак: так и должно быть при правильной степени.
Получаем 2A = 1, значит A = 1/2 и y* = x²e²ˣ/2. Ответ: y = (C₁ + C₂x)e²ˣ + x²e²ˣ/2. Проверить себя можно в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff (/tools/differential-equations): он покажет ход решения по шагам, подставит ответ в уравнение и построит график. Но сначала реши сам, иначе навык не закрепится.
Что делать, если в правой части сумма или многочлен с экспонентой?
Если правая часть — сумма нескольких функций, используй принцип суперпозиции: для каждого слагаемого ищи свою часть частного решения, потом складывай. Резонанс проверяется отдельно для каждого слагаемого. Например, для y″ − 3y′ + 2y = eˣ + x корни равны 1 и 2. Слагаемое eˣ даёт Axeˣ, потому что α = 1 — корень. Слагаемое x даёт Bx + C без домножения, потому что ноль корнем не является. После подстановки выйдет A = −1, B = 1/2, C = 3/4, то есть y* = −xeˣ + x/2 + 3/4.
Если перед экспонентой стоит многочлен, множитель xᵏ ставят перед всей формой. Возьмём y″ − y = xeˣ: корни ±1, α = 1 — простой корень, а многочлен первой степени. Значит, y* = x(Ax + B)eˣ. Новички часто пишут просто (Ax + B)eˣ и теряют резонанс. Если довести пример до конца, получится 4A = 1 и 2A + 2B = 0, откуда A = 1/4, B = −1/4 и y* = (x² − x)eˣ/4.
Какие ошибки встречаются чаще всего? Забывают, что правая часть-многочлен — это e⁰ˣ, и пропускают нулевой корень. В тригонометрической форме оставляют только синус. Домножают на x, хотя корень не совпал. При двукратном корне берут x вместо x². Если после подстановки коэффициенты не находятся или остаётся противоречие, вернись к корням и проверь, нет ли резонанса.
Можно ли проверять дифуры с резонансом онлайн-калькулятором?
Можно, и это хороший способ найти ошибку. Введи уравнение в бесплатный калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff: он работает онлайн, без регистрации и решает линейные уравнения с постоянными коэффициентами подбором частного решения и вариацией постоянных. Сравни свою форму y* с той, что получилась у калькулятора, и сразу увидишь, где потерялся множитель x.
Каждый ответ проверяется подстановкой, и строится график. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: PDF присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Это способ проверить себя и разобрать ход решения, а не списать: на экзамене всё равно придётся рассуждать самому. Поэтому смотри не только на ответ, но и на выбранную форму y*.
Чтобы тема закрепилась, разбери по одному примеру каждого типа: простой корень, двукратный корень, комплексная пара. Если до экзамена мало времени, составь план повторения в «Моём плане» — бесплатном планировщике студента в Telegram. ИИ-тренер там составляет план подготовки к экзамену и объясняет теорию, а напоминания приходят сами. Подробнее на странице /bot.
