Как решать системы дифференциальных уравнений: коротко
Систему дифференциальных уравнений решают двумя основными способами. Первый — метод исключения: из одного уравнения выражаешь одну функцию, подставляешь в другое и получаешь одно уравнение второго порядка для оставшейся функции. Второй — метод собственных чисел: записываешь систему в матричном виде, находишь собственные числа и векторы матрицы и собираешь решение из экспонент. В обоих случаях в ответе столько произвольных постоянных, сколько уравнений в системе.
Почему система дифуров пугает и с какого уравнения начинать?
Знакомая картина: на паре решали одно уравнение, а в задании вдруг два, и в каждом сидят обе неизвестные функции. Две функции, x(t) и y(t), производные перемешаны, и непонятно, какое уравнение трогать первым. Многие пытаются проинтегрировать каждое уравнение отдельно и упираются в стену: в первом уравнении стоит y, которого ты ещё не знаешь, и проинтегрировать его просто нечем.
Главная мысль, которая снимает панику: система — это не две отдельные задачи, а одна задача про связанные между собой функции. Поэтому решать её нужно так, чтобы разорвать эту связь. Метод исключения делает это буквально: оставляет одну функцию и одно уравнение. Метод собственных чисел делает это средствами линейной алгебры: находит особые направления, вдоль которых функции перестают мешать друг другу. Оба пути приводят к одному и тому же ответу.
Начинай с простого вопроса: система линейная с постоянными коэффициентами или нет? Линейная однородная с постоянными коэффициентами — это когда в правых частях стоят только x и y в первой степени, умноженные на числа, как в записи x′ = 2x + y. Чаще всего в курсе ДУ разбирают именно такие системы, о них и пойдёт речь дальше. Нелинейные системы встречаются реже, и там обычно нужны отдельные приёмы.
Что такое система дифференциальных уравнений и что значит её решить?
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) — это несколько уравнений, в которых неизвестны сразу несколько функций одной переменной. Для двух функций типичная запись такая: x′ = 2x + y, y′ = 3x + 4y. Здесь переменная — t, а неизвестные — x(t) и y(t). Штрих означает производную по t. Такую систему называют нормальной: слева стоит по одной производной, а справа — выражения без производных.
Решить систему — значит найти все пары функций x(t), y(t), которые при подстановке обращают оба уравнения в верные тождества. Общее решение содержит две произвольные постоянные C₁ и C₂ — по числу уравнений. Это не случайность: система из двух уравнений первого порядка обычно сводится к одному уравнению второго порядка, а общее решение такого уравнения содержит две постоянные.
Чтобы найти конкретные значения C₁ и C₂, нужны начальные условия: x(0) и y(0), то есть значения обеих функций в одной точке. Это та же задача Коши, что и для одного уравнения. Идея не меняется: подставляешь условия в общее решение и получаешь два обычных алгебраических уравнения для постоянных. Решаешь их, и частное решение готово.
Как решить систему методом исключения по шагам?
Алгоритм для системы из двух уравнений такой. Шаг первый: выбери уравнение, из которого проще выразить одну функцию через другую и её производную. Шаг второй: продифференцируй это выражение, чтобы получить производную выражаемой функции. Шаг третий: подставь выражение и его производную во второе уравнение. Получится одно линейное уравнение второго порядка для оставшейся функции, например для x.
Шаг четвёртый: реши это уравнение через характеристическое. Для разных действительных корней λ₁ и λ₂ функция имеет вид C₁·exp(λ₁t) + C₂·exp(λ₂t), для кратного корня λ — (C₁ + C₂t)·exp(λt), а для комплексных корней α ± βi появляются множители eᵅᵗcos βt и eᵅᵗsin βt. Шаг пятый: найди вторую функцию, подставив x(t) в выражение из первого шага. Все постоянные при этом остаются прежними C₁ и C₂, новые появляться не должны.
Последнее правило важное. Нельзя решать для y отдельное уравнение и вводить в него свои C₃ и C₄: функции связаны, и их постоянные тоже связаны. Лишние постоянные дают неверный ответ, который не проходит проверку подстановкой. Метод хорош ещё и тем, что опирается на знакомую тему: если ты умеешь решать линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, то отличий всего два шага — выражение в начале и возврат к y в конце.
Как разобрать пример: x′ = 2x + y, y′ = 3x + 4y?
Берём систему: x′ = 2x + y и y′ = 3x + 4y. Из первого уравнения выражаем y: y = x′ − 2x. Дифференцируем это равенство: y′ = x″ − 2x′. Подставляем y и y′ во второе уравнение: x″ − 2x′ = 3x + 4(x′ − 2x). Раскрываем скобки справа: 3x + 4x′ − 8x = 4x′ − 5x. Теперь в уравнении осталась одна функция x, и это уже знакомая задача.
Переносим всё влево: x″ − 6x′ + 5x = 0. Характеристическое уравнение: λ² − 6λ + 5 = 0, его корни λ₁ = 1 и λ₂ = 5. Значит, x = C₁eᵗ + C₂e⁵ᵗ. Находим y по формуле y = x′ − 2x. Производная x′ = C₁eᵗ + 5C₂e⁵ᵗ, поэтому y = C₁eᵗ + 5C₂e⁵ᵗ − 2C₁eᵗ − 2C₂e⁵ᵗ = −C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ.
Ответ: x = C₁eᵗ + C₂e⁵ᵗ, y = −C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ. Проверяем первое уравнение: x′ = C₁eᵗ + 5C₂e⁵ᵗ, а 2x + y = 2C₁eᵗ + 2C₂e⁵ᵗ − C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ = C₁eᵗ + 5C₂e⁵ᵗ. Совпало. Второе: y′ = −C₁eᵗ + 15C₂e⁵ᵗ, а 3x + 4y = 3C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ − 4C₁eᵗ + 12C₂e⁵ᵗ = −C₁eᵗ + 15C₂e⁵ᵗ. Тоже совпало. Свой ход решения удобно сверить с пошаговым калькулятором Prepodoff: он покажет, на каком шаге пути разошлись.
Как найти частное решение системы при заданных начальных условиях?
Продолжим тот же пример и добавим условия x(0) = 2, y(0) = 2. Подставляем t = 0 в общее решение. Так как e⁰ = 1, получаем два уравнения: C₁ + C₂ = 2 и −C₁ + 3C₂ = 2. Складываем их: 4C₂ = 4, откуда C₂ = 1. Тогда C₁ = 2 − 1 = 1. Постоянные найдены, остаётся вернуть их в решение.
Ответ: x = eᵗ + e⁵ᵗ, y = −eᵗ + 3e⁵ᵗ. Проверим условия: x(0) = 1 + 1 = 2 и y(0) = −1 + 3 = 2. Всё верно. Обрати внимание, что условия подставляются в оба равенства сразу, поэтому для двух постоянных получаются именно две связи, и система алгебраических уравнений решается без труда.
Частая ошибка здесь: подставить условие только в x и забыть про y. Тогда постоянных две, а уравнение одно, и однозначно найти их не получится. Другая ошибка — подставить t = 0 в производные вместо самих функций. Начальные условия задачи Коши заданы для функций, если в условии не сказано иное, поэтому смотри, что именно у тебя дано: значения функций или их производных.
Как решить систему через собственные числа и векторы?
Запиши систему в матричном виде. Для нашего примера матрица коэффициентов A состоит из двух строк: (2, 1) и (3, 4). Собственные числа ищем из уравнения det(A − λE) = 0, то есть (2 − λ)(4 − λ) − 3 = 0. Раскрываем: λ² − 6λ + 5 = 0, корни те же: λ₁ = 1 и λ₂ = 5. Совпадение неслучайно: уравнение для собственных чисел и характеристическое уравнение после исключения — это одно и то же.
Теперь для каждого собственного числа находим собственный вектор из уравнения (A − λE)v = 0. При λ₁ = 1 получаем a + b = 0, подходит вектор (1, −1). При λ₂ = 5 получаем −3a + b = 0, подходит вектор (1, 3). Общее решение — сумма: вектор (x, y) равен C₁eᵗ(1, −1) + C₂e⁵ᵗ(1, 3). Покоординатно это x = C₁eᵗ + C₂e⁵ᵗ и y = −C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ. Ответ тот же, что и при исключении.
Если корень кратный и ему соответствует только один собственный вектор, в ответе, как и для обычного уравнения, появляются слагаемые с множителем t. Если корни комплексные, ответ записывают через синус и косинус. Этот случай чаще всего и вызывает вопросы, поэтому разберём его на отдельном примере. Для системы из двух уравнений метод исключения и метод собственных чисел одинаково законны, так что выбирай тот, который тебе удобнее или который просит преподаватель.
Что делать, если собственные числа получились комплексными?
Возьмём систему x′ = x − y, y′ = x + y. Уравнение для собственных чисел: (1 − λ)² + 1 = 0, откуда (1 − λ)² = −1 и λ = 1 ± i. Комплексные корни приходят парой, поэтому достаточно разобрать один: λ = 1 + i. Уравнение (A − λE)v = 0 даёт −i·a − b = 0, то есть b = −i·a, и в качестве собственного вектора можно взять (1, −i).
Запишем комплексное решение: exp((1 + i)t) умножить на вектор (1, −i). По формуле Эйлера exp((1 + i)t) = eᵗ(cos t + i sin t). Умножая на вектор, получаем x = eᵗ(cos t + i sin t) и y = eᵗ(sin t − i cos t). Действительная и мнимая части по отдельности тоже являются решениями. Берём их с произвольными постоянными: x = eᵗ(C₁cos t + C₂sin t), y = eᵗ(C₁sin t − C₂cos t).
Проверим первое уравнение. Производная x′ = eᵗ((C₁ + C₂)cos t + (C₂ − C₁)sin t). Разность x − y = eᵗ(C₁cos t + C₂sin t − C₁sin t + C₂cos t) = eᵗ((C₁ + C₂)cos t + (C₂ − C₁)sin t). Совпало. Второе уравнение проверяется так же. Исключение даёт тот же результат: x″ − 2x′ + 2x = 0 и λ = 1 ± i. На фазовой плоскости, где по осям отложены x и y, такие решения рисуют спирали, которые раскручиваются от начала координат из-за множителя eᵗ.
Можно ли проверять решение системы дифуров калькулятором?
Можно, и это нормальный способ учиться, если использовать калькулятор после собственной попытки. Сначала реши систему сам, потом сверь ответ и ход решения. Калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff бесплатный, работает онлайн без регистрации и решает пошагово, как на парах, в том числе системы линейных уравнений. Каждый ответ он проверяет подстановкой и строит график, а зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением.
Что делать, если твой ответ не совпал с калькулятором? Не переписывай чужой, а найди шаг, где пути разошлись. Чаще всего причина в трёх местах: ошибка в знаке при подстановке, лишние постоянные C₃ и C₄ в выражении для второй функции или неверно найденный собственный вектор. Подставь свой ответ в оба уравнения, как мы делали выше: расхождение проявится сразу.
Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: там PDF присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. А если нужно разложить подготовку к контрольной по дням, загляни в «Мой план» — бесплатный планировщик студента в Telegram. В нём есть расписание пар, дедлайны и напоминания, а ИИ-тренер составит план подготовки к экзамену и объяснит теорию.
