Как решить дифференциальное уравнение Эйлера: короткий ответ
Уравнение Эйлера — это линейное дифференциальное уравнение, в котором каждая производная порядка m умножена на постоянное число и на xᵐ. Для второго порядка оно выглядит так: x²y″ + a·x·y′ + b·y = 0. Решение ищи в виде y = xᵏ. Подстановка даёт характеристическое уравнение: k(k − 1) + a·k + b = 0. Если его корни k₁ ≠ k₂ вещественны, ответ — сумма двух степеней x с этими показателями, умноженных на C₁ и C₂. Кратный и комплексный случаи разберём ниже.
Почему у уравнения Эйлера переменные коэффициенты, а решается оно как ДУ с постоянными?
Знакомая ситуация: открываешь задачник и видишь x²y″ + 3x·y′ + y = 0. Коэффициенты — не числа, а степени x, значит, метод для постоянных коэффициентов вроде бы не подходит. А преподаватель на доске пишет k(k − 1) + 3k + 1 = 0, получает квадратное уравнение, и всё решается. Откуда оно взялось, непонятно, и многие просто заучивают этот рецепт, не понимая, почему он работает.
Секрет в устройстве уравнения. Если дифференцировать степень, то xᵏ превращается в k·xᵏ⁻¹, а затем в k(k − 1)·xᵏ⁻². Умножение на xⁿ возвращает показатель на место: x·y′ и x²·y″ снова пропорциональны xᵏ. Поэтому после подстановки в каждом слагаемом остаётся один и тот же множитель xᵏ, на него можно сократить, и остаётся обычный многочлен от k. Это и есть характеристическое уравнение.
Всё это не случайность, а честная замена переменной. Уравнение Эйлера превращается в линейное уравнение с постоянными коэффициентами, если сделать подстановку x = eᵗ. Так что дифуры с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера — одна и та же задача, записанная в разных переменных. Если обычное характеристическое уравнение для тебя ещё в новинку, сначала разберись с ним, а потом возвращайся сюда.
Как работает замена x = eᵗ и откуда берётся k(k − 1)?
Будем считать x > 0. Положим x = eᵗ, тогда t = ln x и dx/dt = x. По правилу цепочки получаем: dy/dt = (dy/dx)·(dx/dt) = x·y′. Запомни главный результат: выражение x·y′ — это просто dy/dt. Именно эта связь превращает переменный коэффициент при первой производной в константу, и никаких громоздких вычислений для первого порядка не нужно.
Со второй производной чуть длиннее. Продифференцируем равенство x·y′ = dy/dt ещё раз по t. Слева, учитывая dx/dt = x, получаем d/dt(x·y′) = x·y′ + x²·y″, а справа d²y/dt². Значит, d²y/dt² = dy/dt + x²·y″, и отсюда выражается нужная комбинация: x²·y″ = d²y/dt² − dy/dt. Именно вычитание производной по t и порождает множитель (k − 1) в характеристическом уравнении.
Подставляем в x²y″ + a·x·y′ + b·y = 0 и получаем уравнение с постоянными коэффициентами: d²y/dt² + (a − 1)·dy/dt + b·y = 0. Его характеристическое уравнение: k² + (a − 1)·k + b = 0. Это то же самое, что k(k − 1) + a·k + b = 0. Корень k даёт решение eᵏᵗ, а так как eᵗ = x, это в точности xᵏ. Поэтому на практике замену не делают, а сразу ищут y = xᵏ.
Как решить уравнение Эйлера по шагам?
Шаг первый: убедись, что уравнение имеет вид x²y″ + a·x·y′ + b·y = f(x). Если старший коэффициент другой, например 2x², раздели обе части на 2 и приведи уравнение к нормальному виду. Шаг второй: запиши характеристическое уравнение k(k − 1) + a·k + b = 0 и приведи его к виду k² + (a − 1)·k + b = 0. Шаг третий: найди корни обычным способом, через дискриминант.
Шаг четвёртый: по корням запиши общее решение. Если корни вещественные и разные, каждый из них даёт степень x со своим показателем, а общее решение — их сумма: например, при корнях 3 и −1 получится y = C₁x³ + C₂x⁻¹. Если корень k кратный, то y = (C₁ + C₂·ln x)·xᵏ. Если корни комплексные, k = α ± βi, то y = xᵅ·(C₁·cos(β ln x) + C₂·sin(β ln x)). Сравни с обычным случаем: вместо eᵏˣ стоит xᵏ, а множитель x и аргумент тригонометрических функций заменены на ln x.
Шаг пятый: если в условии есть начальные данные, подставь их и найди C₁ и C₂. Для x < 0 всё то же самое, только вместо x и ln x пишут |x| и ln|x|. Для порядка выше второго принцип тот же: x³y‴ даёт k(k − 1)(k − 2), и вообще xⁿ·y⁽ⁿ⁾ превращается в произведение k(k − 1)…(k − n + 1). Дальше остаётся решить многочлен от k.
Как решить пример x²y″ − x·y′ − 3y = 0 с условиями y(1) = 2 и y′(1) = 2?
Здесь a = −1 и b = −3. Пишем характеристическое уравнение: k(k − 1) − k − 3 = 0. Раскрываем скобки: k² − k − k − 3 = 0, то есть k² − 2k − 3 = 0. Дискриминант D = 4 + 12 = 16, корни k = (2 ± 4)/2, откуда k₁ = 3 и k₂ = −1. Корни вещественные и разные, поэтому общее решение такое: y = C₁x³ + C₂/x.
Теперь условия. Находим производную: y′ = 3C₁x² − C₂/x². Подставляем x = 1. Из y(1) = 2 получаем C₁ + C₂ = 2, из y′(1) = 2 получаем 3C₁ − C₂ = 2. Складываем два равенства: 4C₁ = 4, значит, C₁ = 1, а тогда C₂ = 1. Ответ задачи Коши: y = x³ + 1/x.
Проверим подстановкой. Для y = x³ + 1/x имеем y′ = 3x² − 1/x² и y″ = 6x + 2/x³. Тогда x²y″ = 6x³ + 2/x, слагаемое −x·y′ равно −3x³ + 1/x, а −3y равно −3x³ − 3/x. Складываем: (6 − 3 − 3)x³ + (2 + 1 − 3)/x = 0. Условия тоже выполнены: y(1) = 1 + 1 = 2 и y′(1) = 3 − 1 = 2. Ответ верный.
Что делать, если характеристическое уравнение даёт кратный корень?
Возьмём уравнение x²y″ − 3x·y′ + 4y = 0. Здесь a = −3 и b = 4, поэтому k(k − 1) − 3k + 4 = 0, то есть k² − 4k + 4 = 0. Это полный квадрат: (k − 2)² = 0, и корень k = 2 имеет кратность два. Одно решение мы уже знаем: y₁ = x². Но для общего решения второго порядка нужны два независимых решения.
Вспомни обычный случай: при кратном корне второе решение — это x·eᵏˣ. В переменной t = ln x то же самое даёт t·e²ᵗ, а это x²·ln x. Поэтому ответ: y = (C₁ + C₂·ln x)·x². Проверим второе решение y = x²·ln x. Здесь y′ = 2x·ln x + x и y″ = 2·ln x + 3. Подставляем: x²(2·ln x + 3) − 3x(2x·ln x + x) + 4x²·ln x = (2 − 6 + 4)x²·ln x + (3 − 3)x² = 0.
Частая ошибка в этом месте — записать ответ как (C₁ + C₂x)·x², перенеся правило для постоянных коэффициентов без замены. Запомни: в уравнении Эйлера роль x играет ln x. Если в ответе у тебя появился множитель x вместо ln x, значит, замена в голове не сработала, и стоит вернуться к выводу через x = eᵗ.
Как записать ответ, если корни комплексные?
Решим x²y″ + x·y′ + 4y = 0. Здесь a = 1 и b = 4, поэтому k(k − 1) + k + 4 = 0. Раскрываем: k² − k + k + 4 = 0, то есть k² + 4 = 0. Корни k = ±2i, то есть α = 0 и β = 2. По правилу из алгоритма ответ записывается так: y = C₁·cos(2 ln x) + C₂·sin(2 ln x).
Смысл понятен из замены. В переменной t это обычные колебания cos 2t и sin 2t, а t = ln x. Поэтому при росте x колебания идут медленно, а при приближении x к нулю справа они учащаются бесконечно: ln x уходит в минус бесконечность. Если бы корни были k = 1 ± 2i, ответ получил бы множитель x: y = x·(C₁·cos(2 ln x) + C₂·sin(2 ln x)).
Проверим первое решение y = cos(2 ln x). Его производные: y′ = −2·sin(2 ln x)/x и y″ = (−4·cos(2 ln x) + 2·sin(2 ln x))/x². Подставляем в x²y″ + x·y′ + 4y: получаем −4·cos(2 ln x) + 2·sin(2 ln x) − 2·sin(2 ln x) + 4·cos(2 ln x) = 0. Для y = sin(2 ln x) проверка делается так же, и общее решение верно.
Как решить неоднородное уравнение Эйлера?
Структура та же, что и для постоянных коэффициентов: общее решение равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-нибудь частного решения неоднородного. Решим x²y″ − x·y′ − 3y = 8x. Однородная часть нам уже знакома по первому примеру: y = C₁x³ + C₂/x. Остаётся найти частное решение. Удобно думать в переменной t = ln x: там уравнение имеет постоянные коэффициенты, и работают привычные правила подбора по виду правой части.
В переменной t правая часть равна 8eᵗ, а показатель 1 не совпадает с корнями 3 и −1, значит, резонанса нет. Ищем частное решение в виде y = A·x. Тогда y′ = A и y″ = 0, и уравнение превращается в −x·A − 3A·x = 8x, то есть −4A·x = 8x. Отсюда A = −2, частное решение y = −2x. Проверка: x²·0 − x·(−2) − 3·(−2x) = 2x + 6x = 8x. Ответ: y = C₁x³ + C₂/x − 2x.
Если правая часть имеет вид xᵐ и число m совпадает с корнем характеристического уравнения кратности s, частное решение ищут в виде A·xᵐ·(ln x)ˢ. Это аналог умножения на x при резонансе в обычном случае. Если правая часть не подбирается, остаётся вариация произвольных постоянных. Ход такого решения можно сверить в калькуляторе дифференциальных уравнений после того, как попробуешь решить сам.
Можно ли решать уравнение Эйлера без замены и как проверить себя?
Можно, и в задачах так делают чаще всего: сразу подставляют y = xᵏ и составляют характеристическое уравнение. Замену x = eᵗ нужно знать для теории, ведь на экзамене могут попросить вывести формулы. Если уравнение дано в виде (x + c)²y″ + p·(x + c)·y′ + q·y = 0, то решения ищут в виде y = (x + c)ᵏ, а в ответе вместо x стоит выражение x + c.
Чтобы проверить себя, всегда подставляй ответ в уравнение, как мы делали в примерах. Если хочешь увидеть ход решения целиком, воспользуйся калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff (/tools/differential-equations). Он бесплатный, работает онлайн без регистрации и раскладывает решение на шаги, включая уравнения Эйлера. Каждый ответ проверяется подстановкой, а график показывает, как ведут себя решения. Сначала реши сам, потом сверяйся, а не наоборот.
Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot: там PDF с решением присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт и на сайте. А чтобы подготовка к экзамену не растянулась, загляни в «Мой план» — бесплатный планировщик студента в Telegram: расписание пар, дедлайны, напоминания и ИИ-тренер, который составит план подготовки и объяснит теорию. Лендинг: /bot.
