Что такое уравнение Клеро и как его решить: короткий ответ
Уравнение Клеро — это обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) первого порядка вида y = xy′ + φ(y′), где φ — известная функция. Чтобы его решить, обозначь p = y′ и продифференцируй уравнение по x. Получится произведение: p′(x + φ′(p)) = 0. Первый множитель даёт общее решение, в котором y′ просто заменяется постоянной: y = Cx + φ(C). Второй множитель даёт особое решение, заданное параметрически: x = −φ′(p), y = φ(p) − pφ′(p).
Почему особое решение не входит в общее и откуда оно берётся?
Знакомая картина: ты записал общее решение y = Cx + φ(C), подставил его в уравнение, всё сошлось, а в ответе задачника есть ещё какая-то кривая. Преподаватель называет её особым решением и говорит, что она не получается ни при каком C. Обидно, ведь вроде всё сделано правильно, а баллы снимают именно за недостающую часть ответа.
Причина в том, что при дифференцировании мы получили не одно условие, а два. Если произведение двух множителей равно нулю, то обнуляется хотя бы один из них, и каждая возможность даёт свою ветку решений. Первая ветка — прямые, вторая — кривая. Поэтому в уравнении Клеро нельзя остановиться на первой найденной формуле: в диффурах такого типа от тебя ждут обе ветки сразу.
Напомню разницу между решениями. Общее решение — это семейство кривых с постоянной C, а частное получается подстановкой конкретного числа. Особое решение устроено иначе: в каждой его точке нарушается единственность, потому что через эту точку проходит и сама кривая, и ещё одна прямая семейства с той же касательной. Ни одно значение C такую кривую не даёт.
Как узнать уравнение Клеро среди других дифуров?
Стандартный вид такой: y = xy′ + φ(y′). Главный признак — перед x стоит ровно y′ в первой степени, а всё остальное зависит только от y′. Примеры: y = xy′ + (y′)², y = xy′ + √(1 + (y′)²), y = xy′ + ln y′. В таком виде уравнение узнаётся сразу, и остаётся только выбрать функцию φ.
На практике ДУ часто дают в замаскированном виде, например xy′ − y + ln y′ = 0 или y − xy′ = (y′)³. Перенеси слагаемые так, чтобы y осталось слева одно, и посмотри на результат. Если справа получилось xy′ плюс функция от y′, это Клеро. Если же x умножается не на сам y′, а на другую функцию от y′, например y = 2xy′ + (y′)², это уже уравнение Лагранжа, и метод чуть другой.
Есть и быстрый тест. Замени в уравнении y′ на букву C, считая её постоянной, и вырази y. Если получилась прямая, у которой угловой коэффициент ровно C, то есть y = Cx + φ(C), перед тобой Клеро: такая прямая сама удовлетворяет уравнению. У Лагранжа выйдет y = φ(C)x + ψ(C), наклон не равен C, и прямая решением уже не будет. Поэтому общее решение Клеро всегда выглядит как семейство прямых, а вся хитрость задачи спрятана во второй ветке. Шаблон решения при этом остаётся одним и тем же для любой функции φ.
Как решать уравнение Клеро по шагам?
Шаг первый: приведи уравнение к виду y = xy′ + φ(y′) и введи параметр p = y′. Получится y = xp + φ(p). Шаг второй: продифференцируй обе части по x, помня, что p сама зависит от x. Левая часть даст p, правая — p + xp′ + φ′(p)p′. Запиши равенство полностью: p = p + xp′ + φ′(p)p′.
Слагаемые p справа и слева сокращаются, и остаётся p′(x + φ′(p)) = 0. Шаг третий: приравняй к нулю каждый множитель по отдельности. Если p′ = 0, то p = C, то есть производная постоянна, и после возврата к y получаем общее решение: y = Cx + φ(C). Это семейство прямых, и оно есть у любого уравнения Клеро.
Шаг четвёртый: если x + φ′(p) = 0, то x = −φ′(p). Подставь это в y = xp + φ(p) и получи y = φ(p) − pφ′(p). Пара формул для x и y — это особое решение в параметрической форме. Оно существует, когда φ″(p) ≠ 0: если φ линейна, получится x = const, и кривой не будет. Если параметр p удаётся исключить, запиши y через x. Шаг пятый: проверь результат подстановкой в исходное уравнение, чтобы не потерять знак.
Как решить уравнение y = xy′ + (y′)²: полный пример
Здесь φ(p) = p². Вводим параметр p = y′ и пишем: y = xp + p². Дифференцируем по x: p = p + xp′ + 2pp′. Слагаемые p сокращаются, и получается p′(x + 2p) = 0. Дальше рассматриваем два случая, как в алгоритме, и каждый доводим до ответа. Ничего хитрого тут нет: это обычная подстановка в готовый шаблон.
Первый случай: p′ = 0, то есть p = C. Тогда y = Cx + C². Это общее решение, однопараметрическое семейство прямых. Второй случай: x + 2p = 0, откуда p = −x/2. Подставляем в y = xp + p²: y = −x²/2 + x²/4 = −x²/4. Это особое решение, парабола y = −x²/4. Ответ записываем сразу в двух частях, чтобы не потерять вторую.
Проверим параболу. Её производная y′ = −x/2, поэтому xy′ + (y′)² = −x²/2 + x²/4 = −x²/4, что совпадает с y. Теперь понятно, почему она не входит в общее решение: прямая не совпадёт с параболой ни при каком C. Зато каждая прямая её касается: уравнение Cx + C² = −x²/4 сводится к (x/2 + C)² = 0 и имеет единственный корень x = −2C. Ответ: y = Cx + C² и y = −x²/4.
Что делать, если в уравнении Клеро корень или логарифм?
Решим y = xy′ + √(1 + (y′)²). Вводим p = y′ и получаем y = xp + √(1 + p²). Дифференцируем: p = p + xp′ + p·p′/√(1 + p²), откуда p′(x + p/√(1 + p²)) = 0. Первая ветка: p = C и y = Cx + √(1 + C²). Вторая ветка: x = −p/√(1 + p²). Подставляем в y = xp + √(1 + p²) и приводим к общему знаменателю: y = −p²/√(1 + p²) + (1 + p²)/√(1 + p²) = 1/√(1 + p²).
Исключаем параметр: x² + y² = p²/(1 + p²) + 1/(1 + p²) = 1. Получилась окружность. Так как y = 1/√(1 + p²) всегда положителен, особое решение — верхняя полуокружность y = √(1 − x²) при −1 < x < 1. Проверка: y′ = −x/√(1 − x²), поэтому xy′ + √(1 + (y′)²) = −x²/√(1 − x²) + 1/√(1 − x²) = (1 − x²)/√(1 − x²) = √(1 − x²). Сходится.
Третий пример замаскирован: xy′ − y + ln y′ = 0. Выражаем y = xy′ + ln y′ — это Клеро с φ(p) = ln p, где p > 0. Дифференцируем y = xp + ln p: p = p + xp′ + p′/p, откуда p′(x + 1/p) = 0. Общее решение: y = Cx + ln C при C > 0. Из x + 1/p = 0 получаем p = −1/x, значит x < 0, и y = −1 + ln(−1/x) = −1 − ln(−x). Проверка: y′ = −1/x, и xy′ + ln y′ = −1 + ln(−1/x) = y.
Решив такой пример на бумаге, сверь ход в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff: он бесплатный, работает онлайн без регистрации и умеет решать уравнения Клеро и Лагранжа пошагово. Смотри не только на ответ, но и на то, на каком шаге ваши решения разошлись. Так калькулятор работает как проверка, а не как способ списать готовое.
Что особое решение значит на графике и как найти кривую через точку?
Особое решение уравнения Клеро — это огибающая семейства прямых, кривая, которая касается каждой прямой семейства. Представь набор касательных к параболе. Все они вместе образуют общее решение, а сама парабола — особое. Поэтому в точках особого решения нарушается единственность: через точку параболы проходят и она сама, и касательная с тем же наклоном.
Посмотрим, сколько прямых семейства y = Cx + C² проходит через заданную точку (x₀, y₀). Подставим её координаты: C² + x₀C − y₀ = 0. Дискриминант этого квадратного уравнения равен x₀² + 4y₀. Если он положителен, через точку проходят две прямые. Если равен нулю, одна. Если отрицателен, ни одной. Нулевой дискриминант означает y₀ = −x₀²/4, то есть точка лежит на параболе.
Два примера. Точка (0; 1): C² = 1, поэтому C = ±1, и получаем прямые y = x + 1 и y = −x + 1. Точка (2; −1): дискриминант равен 4 − 4 = 0, C = −1, прямая y = −x + 1. Но и парабола y = −x²/4 при x = 2 даёт −1. Значит, задача Коши с условием y(2) = −1 имеет как минимум два разных решения: прямую y = −x + 1 и параболу y = −x²/4. Их можно даже склеить в точке касания. Именно это и значит слово «особое».
Можно ли не искать особое решение и чем Клеро отличается от Лагранжа?
Можно ли пропустить особое решение? Зависит от формулировки. Если в условии просят найти общее решение, формально хватит семейства прямых, но многие преподаватели ждут и вторую ветку, поэтому безопаснее найти обе и записать отдельно. Если просят все решения или «общее и особое», пропуск стоит баллов. Лучше сразу привыкнуть доводить решение до конца.
Чем Клеро отличается от Лагранжа? Уравнение Лагранжа имеет вид y = xφ(y′) + ψ(y′). Если φ(p) = p, оно превращается в Клеро, так что Клеро — частный случай. Схема та же: ввести p = y′ и продифференцировать. Но у Лагранжа получается линейное уравнение для x как функции от p, и ответ записывается параметрически. Кроме того, для каждого p₀, где φ(p₀) = p₀, нужно отдельно проверить прямую y = p₀x + ψ(p₀).
Итог по уравнению Клеро: подстановка p = y′ и дифференцирование всегда дают два множителя. Из p′ = 0 получается семейство прямых y = Cx + φ(C), а из x + φ′(p) = 0 — особое решение, огибающая этого семейства. Оба ответа записывай и проверяй подстановкой, а в замаскированных уравнениях сначала выражай y.
Что делать, если решил, а ответ не сходится? Сначала подставь в исходное уравнение и общее, и особое решение: ошибка чаще всего в знаке при дифференцировании или в подстановке параметра. Затем проверь себя в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff. Он проверяет ответ подстановкой и строит график, на котором хорошо видны прямые и касающаяся их кривая. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot, а зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением.
