Как решить уравнение гармонических колебаний y″ + ω²y = 0?
Уравнение гармонических колебаний y″ + ω²y = 0 решается через характеристическое уравнение λ² + ω² = 0, откуда λ = ±iω. Корни комплексные, поэтому общее решение записывается так: y = C₁ cos ωx + C₂ sin ωx. Ту же функцию можно написать одним косинусом: y = A cos(ωx − φ), где A — амплитуда, φ — начальная фаза, а период равен 2π/ω. Постоянные находят из начальных условий.
Почему одно и то же уравнение в физике и в матанализе выглядит по-разному?
В курсе дифуров ты видишь y″ + ω²y = 0, в физике — x″ + ω²x = 0 или m x″ = −kx, а в задачнике по механике маятник записан как θ″ + (g/l)θ = 0. Кажется, что это четыре разные темы и нужно учить четыре метода. На деле перед тобой одно и то же линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, просто буквы разные.
Различаются только обозначения. В математике неизвестная функция называется y, а аргумент — x. В физике аргумент почти всегда время t, а функция — смещение x(t) или угол θ(t). Коэффициент при функции физики пишут как ω², чтобы сразу видеть частоту, а в задачнике по ДУ он может стоять просто числом: в уравнении y″ + 7y = 0 получается ω = √7.
Откуда берётся такое уравнение в физике? Для груза на пружине второй закон Ньютона даёт m x″ = −kx: сила упругости пропорциональна смещению и направлена против него. Делим на m и получаем x″ + (k/m)x = 0, то есть ω = √(k/m). Для маятника при малых углах sin θ заменяют на θ, и выходит θ″ + (g/l)θ = 0 с ω = √(g/l). Главное, чтобы коэффициент при функции был положительным.
Откуда в ответе берутся синус и косинус?
Подставим в уравнение пробное решение y = exp(λx), то есть e в степени λx. Тогда y′ = λ exp(λx), y″ = λ² exp(λx), и после сокращения на exp(λx), который никогда не равен нулю, остаётся характеристическое уравнение: λ² + ω² = 0. Отсюда λ² = −ω², значит λ₁ = iω и λ₂ = −iω. Корни чисто мнимые: действительная часть равна нулю. Именно это определяет вид ответа для всех дифуров такого типа.
Для комплексных корней a ± bi общее решение имеет вид eᵃˣ(C₁ cos bx + C₂ sin bx). У нас a = 0 и b = ω, поэтому экспонента пропадает, а остаются только косинус и синус: y = C₁ cos ωx + C₂ sin ωx. Две постоянные нужны потому, что уравнение второго порядка: общее решение всегда содержит столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Проверим подстановкой. Берём y = cos ωx: тогда y′ = −ω sin ωx, y″ = −ω² cos ωx, и y″ + ω²y = −ω² cos ωx + ω² cos ωx = 0. Для sin ωx выходит так же, ведь y″ = −ω² sin ωx. Сумма решений с любыми коэффициентами тоже решение, потому что уравнение линейное и однородное. Смысл простой: вторая производная равна самой функции, умноженной на −ω², и именно так ведут себя синус и косинус.
Как перейти от C₁ и C₂ к амплитуде и фазе?
В физике ответ почти всегда просят в виде одного косинуса: y = A cos(ωx − φ). Покажем, что это та же функция. Раскроем косинус разности: A cos(ωx − φ) = A cos φ · cos ωx + A sin φ · sin ωx. Сравнивая с C₁ cos ωx + C₂ sin ωx, получаем два равенства: C₁ = A cos φ и C₂ = A sin φ.
Отсюда формулы перехода. Амплитуда: A = √(C₁² + C₂²). Фазу находят из пары равенств cos φ = C₁/A и sin φ = C₂/A. Нужны оба равенства, а не только tg φ = C₂/C₁, иначе легко ошибиться на π и получить косинус с обратным знаком. Если C₁ > 0, можно брать φ = arctg(C₂/C₁), а если C₁ < 0, к арктангенсу прибавляют π.
Что означают эти величины. Амплитуда A — наибольшее отклонение от нуля: функция всегда лежит между −A и A. Циклическая частота ω показывает, сколько радиан фазы набегает за единицу времени. Период T = 2π/ω — время одного полного колебания, а обычная частота ν = ω/(2π) — число колебаний за единицу времени. Чем больше ω, тем чаще колеблется функция и тем короче период.
Как решать задачу Коши для гармонических колебаний?
Алгоритм из четырёх шагов. Первый: найди ω как корень из коэффициента при y. Второй: запиши общее решение y = C₁ cos ωx + C₂ sin ωx. Третий: найди производную y′ = −ωC₁ sin ωx + ωC₂ cos ωx. Четвёртый: подставь начальные условия при x = 0. Получится y(0) = C₁ и y′(0) = ωC₂, то есть C₁ = y(0), а C₂ = y′(0)/ω. Это готовые формулы, если условия заданы в нуле.
Пример 1. Решить y″ + 9y = 0, y(0) = 2, y′(0) = 6. Здесь ω² = 9, значит ω = 3. Общее решение: y = C₁ cos 3x + C₂ sin 3x. Из y(0) = 2 получаем C₁ = 2. Из y′(0) = 6 получаем 3C₂ = 6, то есть C₂ = 2. Ответ: y = 2 cos 3x + 2 sin 3x. В амплитудной форме A = √(4 + 4) = 2√2, cos φ = sin φ = 1/√2, φ = π/4, поэтому y = 2√2 cos(3x − π/4). Период равен 2π/3.
Проверка. Производные: y′ = −6 sin 3x + 6 cos 3x и y″ = −18 cos 3x − 18 sin 3x. Тогда y″ + 9y = −18 cos 3x − 18 sin 3x + 18 cos 3x + 18 sin 3x = 0. Условия выполняются: y(0) = 2, y′(0) = 6. Делай такую проверку всегда: она занимает минуту и ловит потерянный множитель ω. А потом сверь ход решения с калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff, чтобы увидеть, где мог разойтись.
Как решить задачу про груз на пружине?
Пример 2. Груз массой 0,5 кг подвешен на пружине жёсткостью 8 Н/м. Его оттянули на 0,1 м от положения равновесия и отпустили без толчка. Найти закон движения, амплитуду и период. Сначала составим уравнение: 0,5x″ = −8x, откуда x″ + 16x = 0. Значит, ω² = 16 и ω = 4 рад/с. Проверка по формуле: √(k/m) = √(8/0,5) = √16 = 4.
Общее решение: x = C₁ cos 4t + C₂ sin 4t. Начальные условия: x(0) = 0,1 и x′(0) = 0, потому что груз отпустили без толчка. Из первого условия C₁ = 0,1. Производная x′ = −4C₁ sin 4t + 4C₂ cos 4t, и x′(0) = 4C₂ = 0, значит C₂ = 0. Ответ: x = 0,1 cos 4t. Амплитуда 0,1 м, фаза φ = 0, период T = 2π/4 = π/2 ≈ 1,57 с.
Заметь, что период не зависит от начального смещения. Оттянем груз на 0,2 м, и амплитуда станет вдвое больше, а период останется тем же: он определяется только массой и жёсткостью. Это свойство гармонических колебаний, и преподаватели любят про него спрашивать. Если же в условии есть начальная скорость, то C₂ ≠ 0, и ответ придётся записывать суммой синуса с косинусом либо одним косинусом с фазой.
Что меняется, если добавить трение: затухающие колебания?
Реальные колебания затухают, и в уравнении появляется слагаемое с первой производной: x″ + 2βx′ + ω²x = 0, где β > 0 — коэффициент затухания. Характеристическое уравнение λ² + 2βλ + ω² = 0 даёт λ = −β ± √(β² − ω²). Поведение решения определяет знак под корнем, то есть сравнение β и ω. Получается три случая, и каждый из них похож на тип корней из обычных линейных ДУ.
Если β < ω, корни комплексные: λ = −β ± iω₁, где ω₁ = √(ω² − β²). Решение: x = e⁻ᵝᵗ(C₁ cos ω₁t + C₂ sin ω₁t). Это колебания, амплитуда которых убывает по экспоненте. Если β = ω, корень один и кратный: x = e⁻ᵝᵗ(C₁ + C₂t), колебаний нет. Если β > ω, два действительных отрицательных корня, и решение — сумма двух убывающих экспонент, тоже без колебаний.
Пример 3. Решить y″ + 2y′ + 5y = 0, y(0) = 1, y′(0) = 1. Характеристическое уравнение: λ² + 2λ + 5 = 0, D = 4 − 20 = −16, λ = (−2 ± 4i)/2 = −1 ± 2i. Общее решение: y = e⁻ˣ(C₁ cos 2x + C₂ sin 2x). Из y(0) = 1 следует C₁ = 1. Производная в нуле: y′(0) = −C₁ + 2C₂ = 1, значит C₂ = 1. Ответ: y = e⁻ˣ(cos 2x + sin 2x).
Проверим. Обозначим u = cos 2x + sin 2x, тогда y = e⁻ˣu, y′ = e⁻ˣ(u′ − u), y″ = e⁻ˣ(u″ − 2u′ + u). Складываем: y″ + 2y′ + 5y = e⁻ˣ(u″ − 2u′ + u + 2u′ − 2u + 5u) = e⁻ˣ(u″ + 4u) = 0, так как u″ = −4u. Условие тоже выполняется: y′(0) = u′(0) − u(0) = 2 − 1 = 1. Множитель e⁻ˣ сжимает колебания, а частота стала меньше, чем √5.
Что делать, если в уравнении минус или ω² не выписано?
Начнём с частой путаницы. Для уравнения y″ − ω²y = 0 характеристическое уравнение λ² − ω² = 0 даёт действительные корни λ = ±ω. Решение: y = C₁ exp(ωx) + C₂ exp(−ωx). Колебаний здесь нет, функция растёт или убывает по экспоненте. Знак при y решает всё: плюс даёт синусы и косинусы, минус даёт экспоненты. Всегда сначала смотри на этот знак.
Можно ли записать ответ только через косинус или только через синус? Можно, но лишь в амплитудной форме с фазой: y = A cos(ωx − φ) или y = A sin(ωx + φ₀). Просто C cos ωx без второго слагаемого писать нельзя: теряется вторая постоянная, и начальные условия уже не выполнить. Все три формы равноценны, если фаза подобрана верно. Выбирай ту, которую просит задача.
А если коэффициент при y не квадрат целого числа, например y″ + 7y = 0? Тогда ω = √7, а общее решение y = C₁ cos(√7·x) + C₂ sin(√7·x). Не пиши C₁ cos 7x: при дифференцировании множитель √7 выходит из-под косинуса, и подстановка не сойдётся. Проверка: (cos(√7·x))″ = −7 cos(√7·x), значит y″ + 7y = 0, всё верно.
Как проверить решение колебаний и не списать, а понять?
Хороший порядок такой: сначала реши сам, потом сверяйся. Продифференцируй ответ два раза и подставь в уравнение, как мы делали в примерах. Затем подставь начальные условия и убедись, что обе постоянные найдены верно. Типичные ошибки: потерянный множитель ω при дифференцировании, неверный знак производной косинуса и перепутанные C₁ и C₂ в начальных условиях.
Если нужно увидеть ход решения целиком, воспользуйся калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации и решает пошагово, как на парах: линейные уравнения с постоянными коэффициентами, задачу Коши, системы. Каждый ответ проверяется подстановкой, и строится график, на котором видны период и затухание. Введи y″ + 9y = 0 с условиями из первого примера и сравни шаги со своей тетрадью.
Смысл в том, чтобы калькулятор проверял тебя, а не решал вместо тебя: ты видишь, на каком шаге твоё решение разошлось с правильным. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением, а в Telegram-боте @prepodoff_bot калькулятор тоже есть: там PDF присылает бот, и решением можно поделиться с однокурсником. Для подготовки к экзамену по дифурам есть и «Мой план» — бесплатный планировщик студента в Telegram с расписанием пар, дедлайнами и напоминаниями, где ИИ-тренер составляет план подготовки и объясняет теорию.
