Как решать уравнение Бернулли: короткий ответ
Уравнение Бернулли — это дифференциальное уравнение вида y′ + P(x)·y = Q(x)·yⁿ, где n не равно 0 и 1. Чтобы его решить, раздели обе части на yⁿ и сделай замену z = y¹⁻ⁿ. Уравнение превратится в линейное: z′ + (1 − n)·P(x)·z = (1 − n)·Q(x). Реши его, вернись к y и не забудь про решение y = 0, которое при делении легко теряется.
Как понять, что перед тобой уравнение Бернулли?
Знакомая ситуация: открываешь задачник по дифурам, видишь y′ + y/x = x·y² и не понимаешь, куда это пристроить. Линейным уравнение не является из-за степени у y, переменные не разделяются, на однородное оно тоже не похоже. Студенты часто тратят полчаса, подбирая замену наугад. Хотя у этого ОДУ есть узнаваемый признак, и распознаётся он за несколько секунд.
Признак такой. Слева стоит производная y′ плюс слагаемое с y в первой степени, умноженное на функцию от x. Справа стоит функция от x, умноженная на y в какой-то степени n. Если убрать эту степень, получится обычное линейное уравнение первого порядка. Именно поэтому уравнение Бернулли считают его ближайшим родственником: тот же скелет, только справа добавлен множитель yⁿ.
Два случая сразу исключи. При n = 0 справа остаётся просто Q(x), и это обычное линейное ДУ. При n = 1 справа стоит Q(x)·y, уравнение тоже линейное, причём однородное: его решают разделением переменных. Всё остальное, включая дробные и отрицательные n, например y′ − y = x·√y или y′ + y = y⁻¹, это настоящее уравнение Бернулли. Диффуры такого вида на экзаменах встречаются регулярно.
Почему замена z = y¹⁻ⁿ превращает уравнение в линейное?
Идея замены простая. Поделим уравнение y′ + P(x)·y = Q(x)·yⁿ на yⁿ. Получится: y⁻ⁿ·y′ + P(x)·y¹⁻ⁿ = Q(x). Теперь в уравнении встречаются две «странные» вещи: y⁻ⁿ·y′ и y¹⁻ⁿ. Хочется, чтобы они выражались через одну новую функцию и её производную. Посмотрим, получится ли это, если взять за новую функцию именно степень y¹⁻ⁿ.
Положим z = y¹⁻ⁿ. По правилу дифференцирования сложной функции z′ = (1 − n)·y⁻ⁿ·y′. Значит, y⁻ⁿ·y′ = z′/(1 − n). Подставляем в уравнение: z′/(1 − n) + P(x)·z = Q(x). Умножаем обе части на (1 − n) и получаем: z′ + (1 − n)·P(x)·z = (1 − n)·Q(x). Это линейное уравнение первого порядка относительно z, и решать такие ты уже умеешь.
Обрати внимание: замена работает потому, что производная от y¹⁻ⁿ сама даёт множитель y⁻ⁿ, который мы как раз получили после деления. Это не совпадение, а причина, по которой метод придуман именно таким. Частный случай, который встречается чаще всего: n = 2, тогда z = 1/y, а уравнение для z выглядит так: z′ − P(x)·z = −Q(x).
Как решать уравнение Бернулли по шагам?
Алгоритм состоит из шести шагов. Первый: приведи уравнение к виду y′ + P(x)·y = Q(x)·yⁿ, то есть коэффициент при y′ должен быть равен единице. Второй: определи показатель n. Третий: раздели обе части на yⁿ. Четвёртый: сделай замену z = y¹⁻ⁿ и запиши линейное уравнение z′ + (1 − n)·P(x)·z = (1 − n)·Q(x).
Пятый шаг: реши линейное уравнение относительно z. Можно взять интегрирующий множитель или подстановку z = u·v, это дело вкуса. Получишь z = z(x, C). Шестой шаг: вернись к y, то есть запиши y¹⁻ⁿ = z(x, C) и при необходимости выдели y. Отдельно проверь, не потерялось ли решение y = 0: при n > 0 оно всегда подходит, потому что обе части уравнения обращаются в ноль.
Если дана задача Коши, подставляй начальные условия в общее решение уже после возвращения к y. Так меньше шансов запутаться со знаками и степенями. Для n = 2 и n = 3 полезно помнить, что z = y⁻¹ и z = y⁻² соответственно, поэтому ответ часто получается в виде «единица, делённая на что-то». Это нормально, дробей пугаться не нужно.
Пример 1: как решить y′ + y/x = x·y²?
Здесь P(x) = 1/x, Q(x) = x, n = 2. Делим обе части на y²: y⁻²·y′ + (1/x)·y⁻¹ = x. Вводим замену z = y⁻¹, тогда z′ = −y⁻²·y′, то есть y⁻²·y′ = −z′. Подставляем: −z′ + z/x = x. Умножаем на −1 и получаем линейное уравнение: z′ − z/x = −x. Сверься с общей формулой: (1 − n)·P = −1/x и (1 − n)·Q = −x, всё совпало.
Решаем подстановкой z = u·v. Тогда z′ = u′v + uv′, и уравнение принимает вид u′v + u·(v′ − v/x) = −x. Выбираем v так, чтобы скобка обратилась в ноль: v′ = v/x. Разделяем переменные: dv/v = dx/x, откуда v = x. Подставляем обратно: u′·x = −x, значит u′ = −1 и u = −x + C₁. Тогда z = u·v = x·(C₁ − x) = C₁x − x².
Возвращаемся к y: так как z = 1/y, получаем y = 1/(C₁x − x²). Кроме того, y = 0 тоже решение, при делении на y² оно потерялось. Проверка для y = 1/(C₁x − x²): y′ = −(C₁ − 2x)/(C₁x − x²)², а y/x = (C₁ − x)/(C₁x − x²)². Сумма равна x/(C₁x − x²)², и это ровно x·y². Ответ: y = 1/(C₁x − x²) и y = 0.
Пример 2: как решить y′ + 2xy = 2x³y³?
Здесь P(x) = 2x, Q(x) = 2x³, n = 3, поэтому 1 − n = −2. Делим на y³: y⁻³·y′ + 2x·y⁻² = 2x³. Замена z = y⁻², тогда z′ = −2y⁻³·y′, то есть y⁻³·y′ = −z′/2. Подставляем: −z′/2 + 2x·z = 2x³. Умножаем на −2 и получаем z′ − 4x·z = −4x³. Это совпадает с общей формулой: (1 − n)·P = −4x, а (1 − n)·Q = −4x³.
Решаем линейное уравнение интегрирующим множителем. Для z′ − 4x·z = −4x³ он равен e⁻²ˣ², потому что ∫(−4x) dx = −2x². Умножаем уравнение на этот множитель, и левая часть превращается в производную произведения: (z·e⁻²ˣ²)′ = −4x³·e⁻²ˣ². Остаётся проинтегрировать правую часть. Подстановка t = x² даёт x dx = dt/2, и интеграл превращается в ∫(−2t)·e⁻²ᵗ dt.
Берём по частям: ∫ t·e⁻²ᵗ dt = −t·e⁻²ᵗ/2 − e⁻²ᵗ/4. Умножив на −2, получаем (t + 1/2)·e⁻²ᵗ. Возвращаем t = x²: z·e⁻²ˣ² = (x² + 1/2)·e⁻²ˣ² + C. Делим на множитель: z = x² + 1/2 + C·e²ˣ². Поскольку z = y⁻², ответ: 1/y² = x² + 1/2 + C·e²ˣ², плюс решение y = 0. Проверка: z′ − 4xz = 2x + 4Cx·e²ˣ² − 4x³ − 2x − 4Cx·e²ˣ² = −4x³.
Пример 3: как решить задачу Коши для уравнения Бернулли?
Решим x·y′ + y = y²·ln x при условии y(1) = 1, считая x > 0. Сначала приводим к стандартному виду, деля на x: y′ + y/x = (ln x/x)·y². Здесь P(x) = 1/x, Q(x) = ln x/x, n = 2. Делим на y², вводим z = 1/y, и получается линейное уравнение: z′ − z/x = −ln x/x.
Интегрирующий множитель для него равен 1/x, поскольку ∫(−1/x) dx = −ln x. Тогда (z/x)′ = −ln x/x². Интегрируем по частям: ∫ ln x/x² dx = −ln x/x − 1/x, поэтому ∫(−ln x/x²) dx = ln x/x + 1/x. Получаем z/x = ln x/x + 1/x + C, откуда z = ln x + 1 + C·x. Значит, общее решение: y = 1/(1 + ln x + C·x).
Теперь подставляем начальное условие: при x = 1 имеем ln 1 = 0 и y = 1, поэтому 1 = 1/(1 + 0 + C). Отсюда C = 0. Частное решение: y = 1/(1 + ln x). Проверка: y′ = −(1/x)/(1 + ln x)², поэтому x·y′ + y = −1/(1 + ln x)² + 1/(1 + ln x) = ln x/(1 + ln x)², а y²·ln x даёт то же самое. Решение y = 0 условию y(1) = 1 не подходит.
Какие ошибки чаще всего делают в уравнении Бернулли?
Первая ошибка — забыть привести уравнение к виду, где при y′ стоит единица. Если уравнение дано как x·y′ + y = y²·ln x, а ты сразу берёшь P = 1, ответ получится неверным. Вторая ошибка — неправильно записать коэффициенты после замены. Множитель (1 − n) нужно поставить и при P(x), и при Q(x), а не только при одном из них.
Третья ошибка — потеря решения y = 0. В задачнике о нём могут не спросить, но на экзамене преподаватель обычно ждёт, что ты его упомянешь. Четвёртая — потерянный знак при z′ = −y⁻²·y′ для n = 2. Пятая — возврат к y не до конца: оставляешь ответ в виде z, хотя в условии просили найти y.
Чтобы поймать эти ошибки, проверяй себя подстановкой. Продифференцируй найденное y, подставь в исходное уравнение и сравни обе части. Это занимает пару минут и работает всегда. Если ответ расходится с задачником, посмотри, не отличается ли он только формой записи константы: C можно заменить на 2C или на −C, смысл от этого не меняется. Неявный ответ вида 1/y² = … тоже полноценный.
Можно ли проверить решение уравнения Бернулли онлайн?
Можно, и это хороший способ сверить результат. Калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff бесплатный, работает онлайн и не требует регистрации. Он решает уравнение Бернулли пошагово, как на парах: показывает замену, линейное уравнение для z и возврат к y. Каждый ответ проверяется подстановкой, а график решения строится автоматически. Разумно сначала решить самому на бумаге, а потом сравнить ход и найти шаг, где разошлись.
Можно ли просто переписать решение из калькулятора? Честный ответ такой: переписать можно, но на контрольной и экзамене ты будешь решать сам. Поэтому смотри, как выбирается n, как строится линейное уравнение для z и где происходит возврат к y. Именно это нужно уметь воспроизводить. Зарегистрированные пользователи могут скачать PDF-отчёт с решением, чтобы повторить его перед сдачей.
Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot. PDF там присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником, если вы вместе разбираете тему. Подведём итог: у уравнения Бернулли один главный трюк — замена z = y¹⁻ⁿ. После неё остаётся линейное уравнение, а оно решается по знакомому шаблону. Реши три примера из статьи сам, сверься с калькулятором, и тема перестанет пугать.
