Что такое уравнение, не разрешённое относительно производной?
Это дифференциальное уравнение вида F(x, y, y′) = 0, в котором y′ нельзя сразу записать как функцию от x и y: например, (y′)² − 3y′ + 2 = 0 или y = 2x·y′ + (y′)². Алгоритм такой: обозначь y′ = p и попробуй выразить p из уравнения, а потом реши каждое получившееся ДУ. Если не выходит, выражай через параметр p переменную y или x, дифференцируй и получай уравнение, связывающее p с x или y. В конце проверь особые решения.
Почему обычные методы не работают, если y′ стоит в квадрате?
Знакомая картина: открываешь задачник, а там y′ в квадрате, под синусом или в сумме с y в третьей степени. Все привычные методы, то есть разделение переменных, однородные и линейные уравнения, требуют, чтобы уравнение выглядело как y′ = f(x, y). Здесь такой записи нет, и непонятно, с чего начинать. Многие студенты подставляют замену наугад и застревают на втором шаге.
Суть проблемы в том, что при заданных x и y уравнение F(x, y, p) = 0 определяет не одно значение производной, а несколько. Например, из p² = 4 получается p = 2 и p = −2. Значит, через одну точку может проходить не одна интегральная кривая, а сразу несколько, и ответ распадается на несколько семейств. Поэтому в таких диффурах в ответе часто стоит несколько формул, и это нормально, а не признак ошибки.
Есть и вторая особенность: возможны особые решения, то есть кривые, которые не входят в общее решение ни при каком C. Именно про них чаще всего забывают на контрольной по ОДУ. Поэтому держи в голове три вопроса: можно ли выразить p, можно ли выразить y или x через p и есть ли особые решения. Дальше разберём каждый вопрос на примерах с полным ответом.
Что делать, если уравнение можно разрешить относительно y′?
Самый простой случай: уравнение алгебраическое относительно p = y′ и решается как обычное квадратное. Находишь p и получаешь одно или несколько уравнений вида y′ = f₁(x, y), y′ = f₂(x, y) и так далее. Каждое из них решаешь известным методом, а общий ответ — это объединение всех найденных семейств. Записывать можно по отдельности или произведением скобок, равным нулю.
Пример 1. Решим уравнение (y′)² − (x + y)·y′ + xy = 0. Это квадратное уравнение относительно p: p² − (x + y)p + xy = 0. Его дискриминант равен (x + y)² − 4xy = (x − y)², поэтому p = ((x + y) ± (x − y))/2, то есть p = x или p = y. То же видно из разложения: (p − x)(p − y) = 0, и после раскрытия скобок получается исходное уравнение.
Первое уравнение: y′ = x, откуда y = x²/2 + C. Второе: y′ = y, это уравнение с разделяющимися переменными, dy/y = dx, ln|y| = x + c, значит y = Ceˣ. Значение C = 0 даёт решение y = 0, потерянное при делении на y. Ответ: y = x²/2 + C и y = Ceˣ. Проверка: для первого семейства y′ = x, и обращается в ноль первая скобка, для второго y′ = y, и обращается в ноль вторая.
Как решать уравнение, разрешённое относительно y, методом параметра?
Если y выражается через x и p, то есть y = f(x, p), вводим p = y′ и пользуемся тем, что dy = p dx. Дифференцируем равенство y = f(x, p) по x: p = ∂f/∂x + (∂f/∂p)·(dp/dx). Получилось уравнение первого порядка уже не для y, а для пары x и p. Часто оно линейное относительно x(p) или решается разделением переменных. Найдя x(p), подставляем его в y = f(x, p) и получаем решение в параметрической форме.
Пример 2. Решим уравнение y = 2x·y′ + (y′)². Положим y′ = p, тогда y = 2xp + p². Дифференцируем по x, помня, что dy = p dx: p = 2p + 2x·(dp/dx) + 2p·(dp/dx). Переносим всё в одну сторону: 0 = p + (2x + 2p)·(dp/dx). Удобнее считать x функцией от p: p·(dx/dp) + 2x + 2p = 0. При p ≠ 0 делим на p: dx/dp + 2x/p = −2.
Это линейное уравнение относительно x(p). Умножим его на p²: (p²x)′ = −2p², отсюда p²x = −2p³/3 + C и x = −2p/3 + C/p². Подставляем в y = 2xp + p²: y = −4p²/3 + 2C/p + p² = −p²/3 + 2C/p. Ответ: x = −2p/3 + C/p², y = −p²/3 + 2C/p, где p — параметр. Отдельно проверим p = 0: функция y = 0 тоже удовлетворяет уравнению и в семейство не входит, мы потеряли её при делении на p.
Быстрая проверка на частном случае C = 0. Из x = −2p/3 получаем p = −3x/2, а y = −p²/3 = −3x²/4. Тогда y′ = −3x/2, и правая часть равна 2x·(−3x/2) + 9x²/4 = −3x² + 9x²/4 = −3x²/4. Она совпала с левой частью, значит, формулы выведены верно. Такая проверка на одном значении C занимает пару минут и ловит ошибки знака и потерянные множители, которые в параметрических ответах легко пропустить.
Что делать, если проще выразить x, а не y?
Бывает, что из уравнения легко выражается x: x = g(y, p). Тогда действуем зеркально. Так как dy = p dx, то dx = dy/p. Дифференцируем x = g(y, p) по y: 1/p = ∂g/∂y + (∂g/∂p)·(dp/dy). Получилось уравнение для p как функции от y. Решаем его обычными методами, а затем подставляем p(y) в формулу для x. Выбирай ту переменную, которую алгебраически выразить проще.
Два частных случая встречаются особенно часто. Уравнение Лагранжа имеет вид y = x·φ(y′) + ψ(y′), где φ(p) ≠ p. Пример 2 как раз такой. Уравнение Клеро — случай y = x·y′ + ψ(y′): его общее решение получается заменой p на C, то есть y = Cx + ψ(C). Узнав тип, ты сэкономишь время и пойдёшь по готовой схеме.
Например, для уравнения Клеро y = x·y′ + (y′)² семейство прямых выглядит так: y = Cx + C². Проверка: y′ = C, и x·C + C² совпадает с y. Но есть и ещё одно решение, которое в семейство не входит: y = −x²/4. Проверим: y′ = −x/2, и x·(−x/2) + x²/4 = −x²/4. Это как раз особое решение, и дальше мы разберём, как такие решения находят.
Как найти особые решения и что такое p-дискриминант?
Особое решение — это решение, в каждой точке которого нарушается единственность: через эту точку проходит и другое решение с тем же наклоном, они касаются. Как правило, оно не входит в общее решение ни при каком C. Чтобы найти кандидатов, составляют p-дискриминант: берут систему F(x, y, p) = 0 и ∂F/∂p = 0 и исключают из неё p. Получается одна или несколько кривых.
Но кривая из p-дискриминанта — только кандидат. Нужно сделать два шага. Первый: подставить её в исходное уравнение и убедиться, что она является решением. Второй: проверить, что в каждой точке к ней касается кривая из общего решения. Если выполнены оба условия, это особое решение. Если кривая решением не является, её отбрасывают: так бывает, когда p-дискриминант выдаёт, например, геометрическое место точек возврата.
Пример 3. Найдём общее и особое решения уравнения (y′)² = 4y. Здесь y ≥ 0. Разрешаем относительно p: y′ = 2√y или y′ = −2√y. Для y ≠ 0 разделяем переменные: dy/(2√y) = ±dx, откуда √y = ±x + c. Возводим в квадрат, обе ветки дают одно семейство парабол: y = (x − C)². Проверка: y′ = 2(x − C), и (y′)² = 4(x − C)² = 4y.
Теперь p-дискриминант. Для F = p² − 4y имеем ∂F/∂p = 2p. Из второго равенства p = 0, из первого y = 0. Функция y = 0 подходит в уравнение: 0 = 0. Она не получается из y = (x − C)² ни при каком C, а каждая парабола касается оси Ox в точке x = C. Значит, y = 0 — особое решение. Ответ: y = (x − C)² и y = 0.
Как проверить ответ и не потерять решения?
Главных ошибок в этой теме три. Первая: потерять одно из семейств, когда уравнение распадается на несколько. Нужно решить каждую скобку. Вторая: поделить на p или на другое выражение и забыть про случай, когда оно равно нулю, как в примере 2. Третья: не искать особые решения. Даже если в условии просят только общее решение, лучше проверить p-дискриминант и честно написать итог.
Проверка делается подстановкой. Для явных решений считаешь y′ и подставляешь в исходное уравнение. Для параметрических используешь условие dy/dx = p, то есть (dy/dp)/(dx/dp) = p. В примере 2: dx/dp = −2/3 − 2C/p³, dy/dp = −2p/3 − 2C/p². Второе выражение равно p·(−2/3 − 2C/p³), поэтому отношение производных действительно равно p. Ответ верный.
Осталось проверить особые решения примера 2. Для F = y − 2xp − p² условие ∂F/∂p = 0 даёт −2x − 2p = 0, то есть p = −x, и тогда y = 2x·(−x) + x² = −x². Подставим эту кривую в уравнение: y′ = −2x, а правая часть равна 2x·(−2x) + 4x² = 0 ≠ −x². Кривая не является решением, значит, особых решений здесь нет, а y = 0 — просто потерянное при делении решение.
Если хочешь сверить себя, открой калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации, решает пошагово и проверяет ответ подстановкой, а среди типов в нём есть уравнения Клеро и Лагранжа. Сначала реши сам на бумаге, потом сравни ход решения со своим и найди шаг, где разошлись. Так калькулятор помогает понять метод, а не просто списать итог.
Можно ли оставить ответ в параметрической форме?
Да, это законный ответ. Если исключить p из формул трудно или невозможно, записывай решение в виде x = x(p), y = y(p) и указывай, что p — параметр. Главное, не забыть отдельно добавить все особые и потерянные решения, такие как y = 0 в примере 2. Если же исключение даёт простую формулу, как в примере 3, лучше записать явный вид.
Что делать, если уравнение не сводится ни к одному типу? Не спеши решать, что оно нерешаемо. Пройди по порядку: попробуй выразить p, потом y, потом x, проверь, не Клеро или Лагранж ли это, поищи упрощающую замену. Часто подсказка спрятана в условии: пропущено слагаемое, дана точка для задачи Коши или в тексте просят найти особые решения.
Для подготовки возьми по одному примеру каждого вида: распадающееся уравнение, уравнение вида y = f(x, p), Клеро и задачу на особое решение. Реши их без подсказок, а затем проверь ход в калькуляторе Prepodoff: он покажет шаги и построит график, так что видно, как особое решение касается семейства. Дедлайны и напоминания удобно вести в «Моём плане», бесплатном планировщике студента в Telegram, где ИИ-тренер составляет план подготовки к экзамену по дифференциальным уравнениям.
