Задачи на движение: по прямой, по воде и по окружности

Три сюжета, которые встречаются чаще всего

В текстовых задачах профильного ЕГЭ движение появляется в нескольких устойчивых вариантах: движение по прямой, движение по воде и движение по окружности. Формула везде одна и та же — расстояние равно скорости, умноженной на время. Отличаются они только тем, как считается скорость и что приравнивается друг к другу. Если разложить сюжеты по полочкам один раз, дальше остаётся арифметика.

Разница между сюжетами не косметическая. В задачах по прямой чаще всего приравнивают расстояния или связывают времена. В задачах по воде основная сложность — сложение и вычитание скорости течения. В задачах по окружности ключевая идея вообще другая: догоняющий проходит на целый круг больше. Путать эти логики — самая частая причина, почему решение уходит в тупик.

Движение по прямой: навстречу, вдогонку и туда-обратно

Когда два объекта едут навстречу, их скорости складываются: сближение идёт быстрее, чем движется каждый по отдельности. Когда один догоняет другого, скорости вычитаются — работает только разница. Эти два правила закрывают большинство школьных сюжетов, и путаница между ними обходится дорого, потому что ошибка всплывает только в самом конце.

Отдельный класс — путь туда и обратно с разными скоростями. Тут главная ловушка в средней скорости: её нельзя получить, сложив две скорости и поделив пополам. Средняя скорость — это весь пройденный путь, делённый на всё затраченное время, и никак иначе. Задачи специально строят так, чтобы наивное усреднение давало красивое неправильное число.

Ещё один типовой поворот — выезд с задержкой. Один вышел раньше, второй позже, встретились в какой-то точке. Здесь удобно завести таблицу, где время движения второго обозначено за икс, а время первого — икс плюс задержка. Расстояния при встрече связаны условием, и уравнение собирается само.

Движение по воде: где теряются знаки

Собственная скорость — это скорость судна в стоячей воде. По течению скорости складываются, против течения вычитаются. Формулировка простая, но в условии она почти никогда не звучит прямо: пишут про плот, который движется со скоростью течения, или про катер, который вернулся в исходный пункт. Первое, что нужно сделать, — выписать обе скорости отдельными выражениями и не смешивать их.

Классический сюжет — путь по течению и обратно с общим временем в пути. Тут два слагаемых времени: расстояние делить на сумму скоростей плюс расстояние делить на разность. Их сумма равна тому, что дано в условии. Уравнение выходит дробно-рациональным, и после приведения к общему знаменателю обычно получается квадратное.

Про плот стоит помнить отдельно: у плота нет собственной скорости, он движется ровно со скоростью течения. Это не мелочь, а часто вся суть задачи — через плот в условие вводят скорость течения, не называя её напрямую. Как только это замечено, задача упрощается вдвое.

Движение по окружности: круги вместо расстояний

На круговой трассе догоняющий не просто оказывается рядом с соперником — к моменту первого обгона он проезжает на один полный круг больше. При втором обгоне разница составит два круга, при n-м — n кругов. Это и есть основное уравнение таких задач, и его почти всегда достаточно.

Отсюда удобный приём: работать не с расстояниями, а с разностью скоростей. Время между обгонами — это длина круга, делённая на разность скоростей. Многие условия формулируются именно так: «первый обгоняет второго каждые столько-то минут». Переведя эту фразу в равенство, ты сразу получаешь связь между скоростями.

Внимательно следи за единицами. Длину трассы часто дают в километрах, а промежутки между обгонами — в минутах, тогда как скорости просят в километрах в час. Перевод минут в часы — механическое действие, но именно на нём ломается больше решений, чем на самой идее с кругами.

Как отработать движение до автоматизма

Не решай задачи вперемешку, пока сюжеты не закрепились. Возьми сначала блок только на движение по прямой, потом только по воде, потом только по окружности. Когда внутри каждого блока решения перестанут вызывать паузу, перемешивай — и вот тогда начнётся настоящая тренировка распознавания типа. Именно распознавание, а не счёт, проверяется на экзамене.

Веди список формулировок-маркеров. «Собственная скорость» — сюжет про воду. «Каждые сколько-то минут обгоняет» — окружность. «Средняя скорость на всём пути» — ловушка с усреднением. Через пару недель этот список станет твоей личной шпаргалкой по переводу текста в схему, причём написанной твоими же словами.

Прогонять блоки задач удобно на бесплатных тренажёрах ЕГЭ на Prepodoff — можно брать однотипные условия подряд и следить, где скорость разбора всё ещё проседает. Важно засекать не только правильность, но и время: на экзамене текстовая задача не должна съедать больше нескольких минут.