Задачи на работу: трубы, бассейны и совместная производительность
Задачи на работу и производительность решаются той же схемой, что и движение. Разбираем совместную работу, трубы и бассейны и приём с работой за единицу.
Содержание
Работа — это то же движение, только в других словах
Если ты умеешь решать задачи на движение, ты уже умеешь решать задачи на работу, просто пока об этом не знаешь. Расстоянию соответствует объём работы, скорости — производительность, время остаётся временем. Формула ровно та же: объём равен производительности, умноженной на время. Вся разница — в декорациях: вместо велосипедистов появляются рабочие, вместо дороги — заказ деталей или бассейн.
Это соответствие стоит осознать буквально, а не на словах. Возьми задачу на совместную работу двух бригад и задачу на движение навстречу — и увидишь, что уравнения у них одинаковой структуры. Когда двое работают вместе, их производительности складываются точно так же, как складываются скорости при сближении. Половина страха перед этим типом задач исчезает именно в этот момент.
Приём, который делает задачу простой: работа за единицу
Часто в условии не сказано, сколько именно деталей нужно изготовить или сколько литров вмещает бассейн. Спрашивают только про время. В таких задачах весь объём работы принимают за единицу — это не хитрость, а стандартный ход. Тогда производительность каждого исполнителя — это просто единица, делённая на его время.
Дальше всё складывается почти механически. Если первый делает всю работу за a часов, а второй за b часов, то за час они вместе выполняют долю, равную сумме двух дробей. Приравнял эту сумму к доле, которую они успевают по условию, — и уравнение готово. Дроби пугают только на вид: после приведения к общему знаменателю обычно остаётся квадратное уравнение.
Если же объём работы в условии назван конкретно, брать единицу не нужно — работай с реальным числом. Смешивать два подхода в одной задаче нельзя, и это частая ошибка: часть выкладок в долях, часть в деталях. Определись на старте, в чём считаешь, и не меняй решение по ходу.
Трубы, бассейны и работа со знаком минус
Отдельный сюжет — бассейн с наливной и сливной трубами. Наливная работает в плюс, сливная в минус, и итоговая производительность — это их разность. Логически это то же самое, что догоняющее движение, где скорости вычитаются. Ошибка со знаком здесь встречается регулярно и обнаруживается по абсурдному ответу вроде отрицательного времени.
Второй частый поворот — исполнители подключаются не одновременно. Сначала один работал сам несколько часов, потом к нему присоединился второй. Такую задачу удобно разбивать на этапы и считать, какая доля работы выполнена на каждом. Сумма долей по всем этапам равна единице — вот и уравнение.
Третий поворот — сравнение производительностей. «Первый выполняет работу на столько-то часов быстрее» или «второй за то же время делает вдвое больше». Это те самые фразы-мостики, из которых рождается равенство. Их надо отлавливать в условии специально, так же как в задачах на движение отлавливают слово «одновременно».
Проверка ответа: что должно насторожить
Квадратное уравнение в задачах на работу почти всегда даёт два корня, и почти всегда один из них лишний. Отрицательное время, отрицательная производительность, время работы вдвоём большее, чем время одного исполнителя, — всё это сигналы, что корень надо отбросить. Проверка занимает десять секунд, а спасает целый балл.
Ещё один способ поймать себя за руку — прикинуть результат на здравый смысл. Двое вместе не могут работать медленнее, чем каждый по отдельности. Бассейн с открытой сливной трубой наполняется дольше, чем без неё. Если ответ противоречит этой бытовой логике, где-то потерян знак или перепутаны величины.
И обязательно вернись к вопросу задачи. Ты мог найти производительность, а спрашивали время. Или найти время первого рабочего, а нужен был второй. Это не математическая ошибка, но балл снимается так же, как за неверные вычисления — и обиднее всего именно здесь.
Как встроить этот тип в подготовку
Задачи на работу не требуют отдельной большой темы — они требуют десятка прорешанных условий с честным разбором. Разумно поставить их сразу после блока на движение, пока аналогия свежая. Тогда мозг закрепит не два независимых навыка, а один общий с двумя обёртками.
Держи под рукой короткий чек-лист: что за работу, кто участвует, одновременно или по этапам, есть ли работа в минус. Четыре вопроса — и структура задачи ясна ещё до того, как ты взял ручку. Прогонять условия потоком можно на бесплатных тренажёрах ЕГЭ на Prepodoff, отслеживая, на каком из четырёх вопросов ты обычно спотыкаешься.
