Что такое интегрирующий множитель и как его найти?
Интегрирующий множитель — это функция μ, на которую умножают уравнение M dx + N dy = 0, чтобы оно стало уравнением в полных дифференциалах. Находят её так: считают разность производных ∂M/∂y и ∂N/∂x. Если выражение (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N зависит только от x, то μ(x) = e^(∫φ(x) dx), где φ — это выражение. Если выражение (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M зависит только от y, то μ(y) = e^(∫ψ(y) dy).
Почему моё уравнение не в полных дифференциалах и на что его умножать?
Знакомая картина из курса дифуров: ты записал уравнение в виде M dx + N dy = 0, проверил условие полного дифференциала и увидел, что ∂M/∂y не равно ∂N/∂x. Метод потенциала не работает, а в задачнике рядом стоит пометка «найдите интегрирующий множитель». Откуда его брать, никто не объяснил, и кажется, что его нужно угадывать. На самом деле угадывать почти не приходится: в учебных задачах по ОДУ множитель обычно зависит либо только от x, либо только от y.
Сначала вспомни, что значит «в полных дифференциалах». Выражение M dx + N dy является дифференциалом некоторой функции U(x, y), если M = ∂U/∂x и N = ∂U/∂y. Тогда смешанные производные функции U совпадают, и отсюда получается условие: ∂M/∂y = ∂N/∂x. Если оно нарушено, у уравнения в таком виде потенциала нет, но это не приговор. Умножение на подходящую функцию способно выровнять обе производные.
Важный факт: после умножения на μ уравнение остаётся равносильным исходному везде, где μ определён и не равен нулю. Решения могут появиться или потеряться только там, где μ = 0 или где он не определён. Поэтому ты не подгоняешь ответ, а переписываешь ту же самую задачу в удобной форме. Если хотя бы один множитель существует, их бесконечно много: умножив μ на любую функцию от потенциала U, снова получишь множитель. Нам достаточно найти один, самый простой.
Откуда берутся формулы для множителя от x и от y?
Запиши условие для умноженного уравнения: выражение μM dx + μN dy должно быть полным дифференциалом. Значит, ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x. Пусть μ зависит только от x. Тогда по y производная действует лишь на M, а справа нужно применить правило производной произведения. Получаем равенство: μ·∂M/∂y = μ′·N + μ·∂N/∂x. Всё остальное — аккуратная алгебра, которую стоит один раз проделать самому.
Перенеси слагаемые и раздели на μN. Получится: μ′/μ = (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N. Слева стоит производная от ln μ. Если правая часть зависит только от x, её можно проинтегрировать, и мы приходим к формуле: μ(x) = e^(∫φ(x) dx), где φ(x) = (∂M/∂y − ∂N/∂x)/N. Если же в правой части остался y, множителя от одного x не существует, и нужно пробовать другой вариант.
Для множителя от y рассуждение зеркальное. Теперь производная по x действует только на N, а по y нужно дифференцировать произведение μM: μ′·M + μ·∂M/∂y = μ·∂N/∂x. Отсюда μ′/μ = (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M. Если это функция ψ(y), то μ(y) = e^(∫ψ(y) dy). Обрати внимание на порядок разности: в двух формулах она записана зеркально, и именно здесь студенты чаще всего путают знак.
Как найти интегрирующий множитель по шагам?
Алгоритм короткий. Шаг первый: приведи уравнение к виду M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 и убедись, что ∂M/∂y ≠ ∂N/∂x. Шаг второй: вычисли разность ∂M/∂y − ∂N/∂x. Шаг третий: раздели её на N. Если результат зависит только от x, обозначь его φ(x) и найди μ = e^(∫φ dx). Постоянную интегрирования берём нулевой, потому что нужен любой один множитель, а не все сразу.
Шаг четвёртый нужен, если на третьем в результате остался y. Раздели на M разность ∂N/∂x − ∂M/∂y, она записывается в обратном порядке. Если получилась функция только от y, назови её ψ(y) и найди μ = e^(∫ψ dy). Шаг пятый: умножь исходное уравнение на μ и обязательно проверь, что теперь ∂(μM)/∂y = ∂(μN)/∂x. Если проверка не сошлась, ищи ошибку в знаках.
Шаг шестой: реши получившееся уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрируй μM по x, добавь неизвестную функцию h(y), а потом найди её из условия ∂U/∂y = μN. Ответ запишется в виде U(x, y) = C. Шаг седьмой: вернись к исходному уравнению и проверь, не потерялись ли решения там, где μ равен нулю. Для самопроверки можно открыть калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff: он бесплатный, работает онлайн без регистрации и показывает ход решения.
Как решить уравнение, если множитель зависит от x? Пример 1
Решим уравнение: (x² + y) dx − x dy = 0. Здесь M = x² + y, N = −x. Проверяем условие: ∂M/∂y = 1, а ∂N/∂x = −1. Производные не равны, поэтому уравнение не в полных дифференциалах. Считаем разность: ∂M/∂y − ∂N/∂x = 1 − (−1) = 2. Делим на N: 2/(−x) = −2/x. Результат зависит только от x, значит, множитель вида μ(x) существует, и его можно искать по формуле.
Находим множитель: μ = e^(∫(−2/x) dx) = e^(−2 ln|x|) = 1/x². Умножаем уравнение на 1/x²: (1 + y/x²) dx − (1/x) dy = 0. Проверка: производная первого коэффициента по y равна 1/x², производная второго по x тоже равна 1/x². Условие выполнено. Теперь ищем потенциал: ∂U/∂x = 1 + y/x², поэтому U = x − y/x + h(y).
Дифференцируем U по y и получаем −1/x + h′(y). Это должно равняться −1/x, значит, h′ = 0, и h — константа. Общий интеграл: x − y/x = C. Выразим y: y = x² − Cx, а так как C произвольная, можно писать y = x² + C₁x. Проверка подстановкой: y′ = 2x + C₁, и (x² + y) − x·y′ = x² + x² + C₁x − 2x² − C₁x = 0. Верно. При умножении на 1/x² мы считали x ≠ 0, а прямая x = 0 исходному уравнению тоже удовлетворяет.
Что делать, если множитель зависит от y? Пример 2
Возьмём уравнение: y dx + (2x − y eʸ) dy = 0. Здесь M = y, N = 2x − y eʸ. Считаем: ∂M/∂y = 1, ∂N/∂x = 2. Условие не выполнено. Пробуем множитель от x: (1 − 2)/N = −1/(2x − y eʸ). В этом выражении есть y, значит, вариант не подходит. Пробуем множитель от y: (∂N/∂x − ∂M/∂y)/M = (2 − 1)/y = 1/y. Это функция только от y, и путь найден.
Находим множитель: μ = e^(∫dy/y) = y. При y < 0 получилось бы |y|, но разница лишь в знаке, а константа на решение не влияет. Умножаем: y² dx + (2xy − y² eʸ) dy = 0. Проверка: ∂(y²)/∂y = 2y и ∂(2xy − y² eʸ)/∂x = 2y. Равны. Значит, U = x y² + h(y), а условие ∂U/∂y = 2xy + h′ = 2xy − y² eʸ даёт h′ = −y² eʸ.
Интегрируем по частям дважды: ∫y² eʸ dy = (y² − 2y + 2) eʸ. Поэтому h = −(y² − 2y + 2) eʸ. Ответ: x y² − (y² − 2y + 2) eʸ = C. Проверка: дифференциал левой части равен y² dx + 2xy dy − y² eʸ dy, это в точности умноженное уравнение.
Осталось разобраться с точками, где μ = 0. Умножая на y, мы могли потерять решение y = 0. Подставим его в исходное уравнение: при y = 0 имеем dy = 0 и M = 0, так что равенство выполнено. Однако дописывать его отдельно не нужно. При y = 0 левая часть общего интеграла равна −(0 − 0 + 2)·e⁰ = −2 при любом x, значит, прямая y = 0 уже входит в ответ при C = −2. Так бывает не всегда, поэтому такую проверку делай в каждой задаче.
Как связаны интегрирующий множитель и линейное уравнение? Пример 3
Линейное уравнение первого порядка тоже решается этим методом. Возьмём y′ + 2y/x = 3x. Запишем его в дифференциалах: y′ = dy/dx, умножим на dx и получим dy + (2y/x − 3x) dx = 0. Тогда M = 2y/x − 3x, N = 1. Считаем: ∂M/∂y = 2/x, ∂N/∂x = 0. Делим разность на N = 1 и получаем 2/x. Это функция только от x, значит, μ = e^(∫2/x dx) = x².
Умножаем: (2xy − 3x³) dx + x² dy = 0. Проверка: ∂(2xy − 3x³)/∂y = 2x и ∂(x²)/∂x = 2x. Совпало. Ищем потенциал: ∂U/∂x = 2xy − 3x³, поэтому U = x²y − 3x⁴/4 + h(y). Производная по y равна x² + h′, а должна быть x². Значит, h′ = 0. Общий интеграл: x²y − 3x⁴/4 = C, откуда y = 3x²/4 + C/x².
Проверим подстановкой: y′ = 3x/2 − 2C/x³, а 2y/x = 3x/2 + 2C/x³. Сумма равна 3x, как и требовалось. Заметь закономерность: для уравнения y′ + p(x)·y = q(x) разность производных, делённая на N, всегда равна p(x), поэтому множитель равен e^(∫p(x) dx). Это тот же интегрирующий множитель, который используют в линейных уравнениях. Идея метода одна, просто здесь она срабатывает сразу.
Что делать, если множитель не зависит ни от x, ни от y?
Бывает, что оба отношения содержат обе переменные. Сначала перепроверь вычисления: чаще всего это арифметическая ошибка в производной или в знаке. Затем посмотри на уравнение внимательно. Иногда его удобно перегруппировать так, чтобы часть слагаемых сама оказалась полным дифференциалом, например x dy + y dx = d(xy). Это приём подбора, он требует тренировки, зато экономит много времени.
Можно ли найти множитель, если он зависит от комбинации, например от xy, x + y или x² + y²? Да, и формула выводится тем же способом. Пусть μ = μ(ω), где ω = ω(x, y). Тогда условие полного дифференциала даёт: μ′/μ = (∂M/∂y − ∂N/∂x)/(N·∂ω/∂x − M·∂ω/∂y). Если правая часть выражается только через ω, множитель такого вида существует. Знаменатель для частых случаев: при ω = xy это yN − xM, при ω = x + y это N − M, при ω = x² + y² это 2xN − 2yM.
Пример для тренировки: (y + xy²) dx − x dy = 0. Здесь ∂M/∂y − ∂N/∂x = 2 + 2xy, а yN − xM = −xy(2 + xy). Обозначим t = xy, тогда отношение равно −2(1 + t)/(t(t + 2)) и зависит только от t. Интегрируя, получаем: μ = 1/(xy(xy + 2)). Кстати, это уравнение Бернулли, так что его можно решить и заменой. В учебных задачах по диффурам такие множители встречаются реже, и обычно преподаватель подсказывает их вид. Если подсказки нет, сначала проверь, не разделяются ли переменные и не однородное ли уравнение.
Как себя проверить? Реши уравнение вручную, а потом введи его в калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff (/tools/differential-equations). Он решает пошагово, в том числе уравнения с интегрирующим множителем, и проверяет ответ подстановкой. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot. Это способ найти свою ошибку и увидеть ход решения, а не списать ответ, поэтому сначала решай сам, а потом сверяйся.
