Как решить систему дифференциальных уравнений методом исключения?
Метод исключения сводит систему двух уравнений к одному уравнению второго порядка. Ты выражаешь одну функцию из первого уравнения, дифференцируешь это выражение и подставляешь во второе: вторая неизвестная исчезает, остаётся уравнение только для x. Решаешь его, а затем находишь y из того же выражения, ничего не интегрируя заново. Постоянные C₁ и C₂ общие для обеих функций.
Схема в одну строку: два уравнения первого порядка ⇒ одно уравнение второго порядка для x(t) ⇒ общее решение x(t) ⇒ функция y(t) из выражения первого шага ⇒ проверка подстановкой. Чаще всего так решают линейные системы ДУ с постоянными коэффициентами, и для них метод всегда доводит до ответа. Дифуры такого вида часто попадают в контрольные по ОДУ, потому что проверяют сразу несколько навыков: дифференцирование, подстановку и решение уравнения второго порядка.
Почему при исключении получается «каша» и ответ не сходится?
Типичная картина: ты выразил одну функцию через другую, подставил во второе уравнение, и на листе оказались x, x′, x″, y и y′ вперемешку. Где-то потерялся знак, где-то забыл продифференцировать слагаемое, и в конце ответ не сходится с ответом в задачнике. Знакомо? Почти всегда «каша» возникает не из-за сложности метода, а из-за того, что шаги делаются в произвольном порядке и без записи.
Помогает жёсткая дисциплина. Сначала выражаешь функцию, потом дифференцируешь выражение целиком, потом подставляешь и только после этого упрощаешь. Если упрощать на ходу, легко потерять множитель или знак. Ещё до начала реши, какую функцию выражаешь: бери то уравнение, где она входит с коэффициентом 1 или −1, тогда дробей и путаницы получится заметно меньше.
Есть и вторая причина. На лекции систему часто показывают сразу в матричной записи, а на практике дают в виде двух строк, и связь между ними теряется. Запомни простую мысль: исключение — это обычная подстановка, как в школьной системе из двух уравнений, только вместо чисел у тебя функции, а вместо сложения выражений появляется дифференцирование.
Почему систему из двух уравнений можно заменить одним уравнением второго порядка?
Возьми общую линейную систему: x′ = ax + by, y′ = cx + dy, где a, b, c, d — числа, а x и y — функции от t. Если b ≠ 0, из первого уравнения получаем: y = (x′ − ax)/b. Это выражение связывает y с x и x′. Значит, зная x, мы сразу знаем y, и вторая неизвестная больше не нужна как отдельный объект.
Дифференцируем: y′ = (x″ − ax′)/b. Подставляем y и y′ во второе уравнение и собираем слагаемые. Получается уравнение: x″ − (a + d)x′ + (ad − bc)x = 0. Заметь: при x′ стоит сумма диагональных элементов матрицы системы со знаком минус, а при x — её определитель, поэтому характеристическое уравнение выглядит так: λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0.
Из системы двух уравнений первого порядка при b ≠ 0 получается уравнение второго порядка, поэтому и произвольных постоянных будет две. Они общие для x и y: вторую функцию мы получаем из первой, а не решаем заново. Если взять постоянные отдельно для каждой функции, придётся потом искать связь между ними, и это одна из самых частых причин неверного ответа.
Как решить систему методом исключения по шагам?
Шаг 1. Выбери уравнение, из которого удобно выразить одну функцию, и запиши, например, y через x и x′. Шаг 2. Продифференцируй это выражение по t целиком, получится y′ через x′ и x″. Не забудь про слагаемые, которые зависят от t: при дифференцировании они тоже меняются, и именно здесь теряют больше всего баллов.
Шаг 3. Подставь y и y′ во второе уравнение. Все y исчезнут, останется линейное уравнение второго порядка для x(t). Шаг 4. Реши его. Если оно однородное с постоянными коэффициентами, составь характеристическое уравнение, найди корни λ₁ и λ₂ и запиши x(t) с постоянными C₁ и C₂. Если справа стоит функция от t, добавь частное решение.
Шаг 5. Подставь найденную x(t) в выражение из первого шага и получи y(t). Дифференцировать придётся только x, интегрировать ничего не нужно. Шаг 6. Если даны начальные условия x(t₀) и y(t₀), подставь их в обе функции и получи систему для C₁ и C₂. Шаг 7. Проверь ответ подстановкой в оба уравнения исходной системы.
Пример 1: как решить x′ = 2x + y, y′ = 3x + 4y при x(0) = 2, y(0) = 0?
Берём систему: x′ = 2x + y, y′ = 3x + 4y. Из первого уравнения выражаем: y = x′ − 2x. Дифференцируем: y′ = x″ − 2x′. Подставляем во второе уравнение: x″ − 2x′ = 3x + 4(x′ − 2x). Раскрываем скобки и собираем слагаемые, получается линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами: x″ − 6x′ + 5x = 0.
Характеристическое уравнение: λ² − 6λ + 5 = 0, корни λ₁ = 1 и λ₂ = 5. Поэтому x = C₁eᵗ + C₂e⁵ᵗ. Находим производную: x′ = C₁eᵗ + 5C₂e⁵ᵗ. Тогда y = x′ − 2x = −C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ. Общее решение системы: x = C₁eᵗ + C₂e⁵ᵗ, y = −C₁eᵗ + 3C₂e⁵ᵗ. Постоянные C₁ и C₂ стоят в обеих формулах, это важно.
Теперь условия x(0) = 2 и y(0) = 0. При t = 0 экспоненты равны единице, значит, C₁ + C₂ = 2 и −C₁ + 3C₂ = 0. Из второго C₁ = 3C₂, подставляем в первое: 4C₂ = 2, то есть C₂ = 1/2 и C₁ = 3/2. Ответ: x = (3/2)eᵗ + (1/2)e⁵ᵗ, y = −(3/2)eᵗ + (3/2)e⁵ᵗ. Проверка: x(0) = 3/2 + 1/2 = 2, y(0) = −3/2 + 3/2 = 0.
Что делать, если корни комплексные: пример x′ = x + y, y′ = −2x + 3y?
Из первого уравнения: y = x′ − x. Дифференцируем: y′ = x″ − x′. Подставляем во второе: x″ − x′ = −2x + 3(x′ − x). Справа получается 3x′ − 5x, значит, x″ − 4x′ + 5x = 0. Характеристическое уравнение λ² − 4λ + 5 = 0 имеет дискриминант 16 − 20 = −4, поэтому корни комплексные: λ = 2 ± i.
Для корней α ± βi, здесь α = 2 и β = 1, решение записывается через синус и косинус: x = e²ᵗ(C₁cos t + C₂sin t). Дифференцируем по правилу произведения: x′ = e²ᵗ((2C₁ + C₂)cos t + (2C₂ − C₁)sin t). Теперь y = x′ − x, и после вычитания получаем: y = e²ᵗ((C₁ + C₂)cos t + (C₂ − C₁)sin t).
Проверим второе уравнение. Производная y′ = e²ᵗ((C₁ + 3C₂)cos t + (C₂ − 3C₁)sin t). С другой стороны, в выражении −2x + 3y при cos t стоит −2C₁ + 3(C₁ + C₂) = C₁ + 3C₂, а при sin t стоит −2C₂ + 3(C₂ − C₁) = C₂ − 3C₁. Всё совпало. Ответ: x = e²ᵗ(C₁cos t + C₂sin t), y = e²ᵗ((C₁ + C₂)cos t + (C₂ − C₁)sin t).
Как исключать, если в системе есть слагаемые с t: пример x′ = y + t, y′ = x + 1?
Здесь в правых частях есть t и константа, поэтому система неоднородная. Из первого уравнения: y = x′ − t. Дифференцируем всё выражение, включая слагаемое −t: y′ = x″ − 1. Подставляем во второе уравнение: x″ − 1 = x + 1. Значит, x″ − x = 2. Если забыть про производную от t, получишь x″ = x + 1 и неверный ответ.
Сначала однородное уравнение x″ − x = 0. Характеристическое λ² − 1 = 0, корни λ = ±1, поэтому общее решение однородного уравнения: C₁eᵗ + C₂e⁻ᵗ. Правая часть — константа 2, а число 0 не является корнем характеристического уравнения, значит, частное решение ищем в виде константы A. Подстановка даёт −A = 2, то есть A = −2.
Общее решение: x = C₁eᵗ + C₂e⁻ᵗ − 2. Находим x′ = C₁eᵗ − C₂e⁻ᵗ и подставляем в y = x′ − t: y = C₁eᵗ − C₂e⁻ᵗ − t. Проверка второго уравнения: y′ = C₁eᵗ + C₂e⁻ᵗ − 1, а x + 1 = C₁eᵗ + C₂e⁻ᵗ − 1. Совпадает. Первое уравнение: x′ = C₁eᵗ − C₂e⁻ᵗ, а y + t = C₁eᵗ − C₂e⁻ᵗ. Тоже верно.
Обрати внимание на порядок действий: общее решение неоднородной системы получилось как сумма двух частей. Слагаемые с C₁ и C₂ отвечают однородной системе, а −2 в x и −t в y — частному решению всей системы. Если частное решение найдено верно, оно само должно удовлетворять обоим исходным уравнениям, и это тоже удобная проверка.
Как проверить решение системы и не запутаться в знаках?
Проверка делается подстановкой обеих найденных функций в оба уравнения. Продифференцируй x и y, посчитай правые части и сравни. Если одно из уравнений не сошлось, ошибка почти всегда в выражении для второй функции: либо неверно продифференцирована x, либо потерян знак при вычитании. Особенно легко ошибиться в формуле y = (x′ − ax)/b, когда a отрицательное.
Ещё один быстрый контроль — сверить характеристическое уравнение с общей формулой λ² − (a + d)λ + (ad − bc) = 0. В примере 1 a = 2, b = 1, c = 3, d = 4, поэтому λ² − 6λ + 5 = 0 с корнями 1 и 5. Если у тебя получился другой набор корней, ошибка в подстановке на третьем шаге, а не в решении уравнения второго порядка.
Чтобы увидеть ход решения и сверить себя, можно открыть калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации и решает системы линейных уравнений пошагово, проверяет ответ подстановкой и строит график. Сначала реши сам, потом сравни шаги и найди место, где ваши решения разошлись. Так калькулятор работает как проверка, а не как способ списать, и ты понимаешь, на каком именно шаге была ошибка.
Можно ли исключать другую функцию и что делать, если в уравнении нет нужной?
Можно ли исключать любую функцию? Да. Если в системе x′ = ax + by, y′ = cx + dy коэффициент c ≠ 0, можно выразить x из второго уравнения и получить уравнение для y, итог будет тем же, только постоянные запишутся иначе. Выбирай вариант, где выражение проще, особенно если коэффициент при выражаемой функции равен 1 или −1. Характеристическое уравнение при этом получается одно и то же, ведь оно зависит только от матрицы системы.
Что делать, если в первом уравнении нет второй функции? Например, x′ = 3x, а y входит только во второе уравнение. Тогда первое решается отдельно: x = C₁e³ᵗ. Подставляешь его во второе уравнение, и оно становится обычным линейным уравнением первого порядка для y. Выражать ничего не нужно, система «разваливается» на два простых шага.
Если уравнений три, метод работает по той же логике, но, как правило, получается уравнение третьего порядка, и вычислений заметно больше, поэтому в таких диффурах особенно важно записывать каждый шаг. Свои решения и ход шагов можно сверить в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff: системы линейных уравнений там есть. Калькулятор доступен и в Telegram-боте @prepodoff_bot, там PDF с решением присылает бот, а решением можно поделиться с однокурсником.
