Как решить систему дифференциальных уравнений матричным методом: коротко
Чтобы решить систему линейных дифференциальных уравнений матричным методом, запиши её как X′ = A·X, найди собственные числа матрицы A из уравнения det(A − λE) = 0 и для каждого λ найди собственный вектор v. Каждой паре (λ, v) соответствует решение e^(λt)·v, а общее решение — сумма таких решений с произвольными постоянными C₁ и C₂. Для комплексных корней берут действительную и мнимую части, а для кратного корня, если собственных векторов не хватает, добавляют множитель t и присоединённый вектор.
Почему собственные числа найдены, а решение с векторами не складывается?
Знакомая картина: характеристическое уравнение решено, корни λ₁ и λ₂ получены, даже собственные векторы вроде найдены, а дальше ступор. Как из них собрать функции x(t) и y(t)? В задачнике ответ записан в виде двух строк с экспонентами, а в твоей тетради векторы и числа лежат отдельно. Связь между этими кусками на лекции часто проговаривают за минуту, и именно она теряется у многих, кто изучает дифуры.
Проблема обычно в том, что матричный метод объясняют языком линейной алгебры, а ответ требуют в виде обычных функций. Нужен мостик: вектор-решение — это просто столбец из x(t) и y(t). Когда ты умножаешь собственный вектор на экспоненту, каждая его координата превращается в формулу для своей функции. Никакой магии, только покоординатная запись одного и того же ответа, и после первой пары задач она становится привычной.
Вторая причина — три случая корней, и в каждом ответ выглядит по-своему. Для разных действительных корней всё просто, для комплексных появляются синус с косинусом, для кратных — множитель t и второй, «присоединённый» вектор. Если выучить эти три шаблона и один общий алгоритм, система ОДУ из двух уравнений решается минут за десять. Система из трёх решается так же, только корней и векторов в ней больше.
Как записать систему в матричном виде и откуда берётся e^(λt)?
Возьми систему из двух уравнений: x′ = a·x + b·y и y′ = c·x + d·y, где x и y — функции от t. Из коэффициентов собираем матрицу A: в первой строке стоят a и b, во второй c и d. Искомые функции складываем в столбец X, и вся система превращается в одну короткую запись: X′ = A·X. Это то же самое уравнение, только компактнее, а для трёх или четырёх уравнений запись не меняется вообще.
Теперь идея метода. Для обычного уравнения y′ = k·y решение — y = C·e^(kt). Попробуем угадать решение системы в похожем виде: X = e^(λt)·v, где v — постоянный вектор. Подставляем: слева получается X′ = λ·e^(λt)·v, справа A·e^(λt)·v. Сокращаем экспоненту и приходим к равенству A·v = λ·v. Это и есть определение собственного вектора: ненулевой v, который матрица A переводит в коллинеарный ему вектор λ·v.
Отсюда два шага. Собственное число находим из условия, что система (A − λE)·v = 0 имеет ненулевое решение, то есть из уравнения det(A − λE) = 0. Для матрицы 2×2 это квадратное уравнение: λ² − (a + d)·λ + (ad − bc) = 0. Затем подставляем каждый корень обратно и находим v. Вектор определён с точностью до множителя, поэтому берём любой удобный, например с целыми координатами.
Какой алгоритм решения системы ДУ через собственные числа и векторы?
Алгоритм состоит из пяти шагов. Первый: перепиши систему в виде X′ = A·X и выпиши матрицу A, не перепутав порядок коэффициентов. Второй: составь уравнение det(A − λE) = 0 и найди корни. Третий: для каждого корня реши систему (A − λE)·v = 0 и запиши собственный вектор. Четвёртый: по типу корней составь решения. Пятый: сложи их с константами C₁ и C₂ и запиши ответ покоординатно, отдельно x(t) и y(t).
Три типа корней дают три шаблона. Два разных действительных корня: X = C₁·e^(λ₁t)·v₁ + C₂·e^(λ₂t)·v₂. Пара комплексных корней α ± βi: берёшь один из них, записываешь комплексное решение, выделяешь действительную и мнимую части, и они образуют два независимых решения. Кратный корень, у которого только один собственный вектор v: второе решение имеет вид e^(λt)·(t·v + w), где вектор w находится из уравнения (A − λE)·w = v.
Проверка в конце обязательна: подставь x(t) и y(t) в оба исходных уравнения и убедись, что левая часть равна правой. Это быстрый способ поймать неверный собственный вектор или потерянный знак. Если в задаче есть начальные условия, подставь t = 0 в общее решение и найди C₁ и C₂ из обычной алгебраической системы. Ход решения можно сверить с калькулятором дифференциальных уравнений Prepodoff: он решает системы пошагово и проверяет ответ подстановкой.
Как решить систему с двумя разными действительными корнями?
Пример 1. Решить систему: x′ = x + 2y, y′ = 3x + 2y, при начальных условиях x(0) = 3 и y(0) = 2. Матрица A: первая строка 1 и 2, вторая 3 и 2. Характеристическое уравнение: (1 − λ)(2 − λ) − 6 = 0. Раскрываем скобки: λ² − 3λ − 4 = 0. Корни: λ₁ = 4 и λ₂ = −1. Они различны и действительны, значит, подходит самый простой шаблон из двух экспонент.
Находим векторы. Для λ₁ = 4 система (A − 4E)·v = 0 даёт уравнение −3a + 2b = 0, то есть b = 3a/2. Берём a = 2, тогда b = 3, и v₁ = (2, 3). Для λ₂ = −1 получаем 2a + 2b = 0, то есть b = −a. Берём a = 1, тогда v₂ = (1, −1). Общее решение по координатам: x = 2C₁·e⁴ᵗ + C₂·e⁻ᵗ, y = 3C₁·e⁴ᵗ − C₂·e⁻ᵗ.
Теперь задача Коши. При t = 0 экспоненты равны единице, поэтому 2C₁ + C₂ = 3 и 3C₁ − C₂ = 2. Складываем уравнения: 5C₁ = 5, значит C₁ = 1, и тогда C₂ = 1. Ответ: x = 2e⁴ᵗ + e⁻ᵗ, y = 3e⁴ᵗ − e⁻ᵗ. Проверка первого уравнения: x′ = 8e⁴ᵗ − e⁻ᵗ, а x + 2y = 2e⁴ᵗ + e⁻ᵗ + 6e⁴ᵗ − 2e⁻ᵗ = 8e⁴ᵗ − e⁻ᵗ. Второго: y′ = 12e⁴ᵗ + e⁻ᵗ и 3x + 2y = 6e⁴ᵗ + 3e⁻ᵗ + 6e⁴ᵗ − 2e⁻ᵗ = 12e⁴ᵗ + e⁻ᵗ. Всё сходится.
Что делать, если собственные числа получились комплексными?
Пример 2. Решить систему: x′ = x − y, y′ = x + y. Матрица A: первая строка 1 и −1, вторая 1 и 1. Характеристическое уравнение: (1 − λ)² + 1 = 0, откуда (1 − λ)² = −1 и λ = 1 ± i. Корни комплексно сопряжённые, действительная часть α = 1, мнимая β = 1. Достаточно работать с одним из них, например с λ = 1 + i: второй корень даст те же самые функции.
Ищем вектор для λ = 1 + i. Первая строка системы (A − λE)·v = 0 имеет вид −i·a − b = 0, откуда b = −i·a. Берём a = 1, тогда v = (1, −i). По формуле Эйлера комплексное решение равно e⁽¹⁺ⁱ⁾ᵗ·v = eᵗ(cos t + i·sin t)·(1, −i). Первая координата равна eᵗ(cos t + i·sin t). Вторая: −i·eᵗ(cos t + i·sin t) = eᵗ(sin t − i·cos t), потому что i² = −1.
Теперь отделяем действительную и мнимую части. Действительная часть решения: (eᵗ·cos t, eᵗ·sin t). Мнимая часть: (eᵗ·sin t, −eᵗ·cos t). Матрица A действительная, поэтому обе части сами являются решениями, и они линейно независимы. Ответ такой: x = eᵗ(C₁·cos t + C₂·sin t), y = eᵗ(C₁·sin t − C₂·cos t). Проверка: x′ = eᵗ[(C₁ + C₂)cos t + (C₂ − C₁)sin t], и ровно это получается для x − y. Аналогично y′ = eᵗ[(C₁ − C₂)cos t + (C₁ + C₂)sin t] = x + y.
Как решать систему, если корень кратный и собственный вектор только один?
Пример 3. Решить систему: x′ = 3x + y, y′ = −x + y. Матрица A: первая строка 3 и 1, вторая −1 и 1. Характеристическое уравнение: (3 − λ)(1 − λ) + 1 = 0, то есть λ² − 4λ + 4 = 0, или (λ − 2)² = 0. Один корень λ = 2 кратности два. Нужны два независимых решения, а экспонента с единственным вектором даст только одно, поэтому придётся искать второй вектор.
Сначала собственный вектор. Матрица A − 2E: первая строка 1 и 1, вторая −1 и −1. Уравнение a + b = 0 даёт v = (1, −1), других независимых векторов нет. Ищем присоединённый вектор w из условия (A − 2E)·w = v, то есть w₁ + w₂ = 1. Берём w = (0, 1). Вторая строка тоже согласуется: −w₁ − w₂ = −1, а это вторая координата вектора v. Значит, w найден верно.
Два решения: e²ᵗ·v и e²ᵗ·(t·v + w). Складываем с константами и пишем по координатам: x = e²ᵗ(C₁ + C₂t), y = e²ᵗ(−C₁ + C₂ − C₂t). Проверка первого уравнения: x′ = e²ᵗ(2C₁ + C₂ + 2C₂t), и 3x + y даёт то же самое. Второго: y′ = e²ᵗ(−2C₁ + C₂ − 2C₂t), и −x + y совпадает. Свой вариант полезно прогнать через калькулятор дифференциальных уравнений и сравнить ход решения, а не просто ответ.
Можно ли решить систему без собственных векторов и что делать, если ответ не сходится?
Можно ли обойтись без собственных векторов? Да: систему из двух уравнений всегда можно свести методом исключения к одному уравнению второго порядка. Для примера 1 получится x″ − 3x′ − 4x = 0 с тем же характеристическим уравнением. Ответ выйдет тем же, только константы могут быть записаны иначе. Матричный метод выгоднее для систем из трёх и более уравнений, где исключение становится громоздким, а алгоритм с векторами остаётся прежним.
Что делать, если ответ не сходится с ответом в задачнике? Сначала проверь подстановкой, а не сравнением. Собственный вектор определён с точностью до множителя, а константы C₁ и C₂ можно переобозначить, поэтому внешне разные записи нередко описывают одно и то же решение. Если подстановка в оба уравнения даёт тождество, твой ответ верен. Если нет, ищи ошибку в знаке при вычислении det(A − λE) или в самом собственном векторе.
Подведём итог: систему сводят к X′ = A·X, находят λ и векторы, собирают ответ по типу корней и проверяют подстановкой. Чтобы тренироваться, решай сам, а потом смотри ход в бесплатном калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff: он работает онлайн, без регистрации и строит график. А подготовку к экзамену по дифурам удобно разложить по дням в «Моём плане» в Telegram: @prepodoff_bot напомнит о занятиях, а ИИ-тренер составит план повторения.
