Как решать уравнение Риккати: короткий ответ
Уравнение Риккати — это дифференциальное уравнение первого порядка вида y′ = P(x)y² + Q(x)y + R(x). В общем виде оно не решается, но если известно одно частное решение y₁, дальше всё просто. Делаешь замену y = y₁ + 1/u и получаешь линейное уравнение для u, которое решается стандартно. Либо заменяешь y = y₁ + z и приходишь к уравнению Бернулли. Остаётся вернуться к y и записать ответ.
Как понять, что перед тобой уравнение Риккати?
Смотри на правую часть. В уравнении Риккати производная y′ равна многочлену второй степени относительно y, а коэффициенты зависят только от x: y′ = P(x)y² + Q(x)y + R(x). Например, y′ = y² − 2/x² или y′ = y² − 2xy + x² + 1. Старшая степень y здесь вторая, и в правой части есть три части: слагаемое с y², слагаемое с y и свободный член без y.
Не путай Риккати с его соседями среди дифуров. Если R(x) = 0, уравнение превращается в уравнение Бернулли с n = 2: y′ = Q(x)y + P(x)y². Если P(x) = 0, остаётся обычное линейное уравнение. Поэтому Риккати — следующий шаг после этих тем: оно сложнее, но при одной подсказке сводится к уже знакомым методам. Если с линейными уравнениями ещё плывёшь, сначала повтори их.
Главная особенность в том, что общего способа решить такое уравнение «в лоб» нет. В общем случае ответ не выражается через элементарные функции и интегралы: ещё Лиувилль доказал, что даже простое на вид ОДУ y′ = x² + y² не решается в квадратурах. Поэтому в задачниках встречаются только специально подобранные ДУ, у которых есть простое частное решение. Оно и есть ключ, а в формулировке задачи часто стоит фраза «найдите частное решение вида…» или готовая подсказка.
Как подобрать частное решение уравнения Риккати?
В задачнике пишут «подберите частное решение», а как именно подбирать — не объясняют, и кажется, что нужно угадать ответ с потолка. На деле это не угадывание, а метод неопределённых коэффициентов в миниатюре. Частное решение — это одна конкретная функция без произвольной постоянной, которая обращает уравнение в тождество. Ищи её в простом виде с неопределёнными коэффициентами и смотри на свободный член R(x). Если там многочлен, пробуй y = ax или y = ax + b. Если в R(x) стоит дробь вроде 1/x², пробуй y = a/x. Если есть показательные функции, пробуй y = aeˣ или y = ae²ˣ.
Покажем на уравнении y′ = y² − 2/x². Пробуем y = a/x, тогда y′ = −a/x². Подставляем: −a/x² = a²/x² − 2/x². Умножаем на x² и получаем квадратное уравнение: a² + a − 2 = 0. Его корни a = 1 и a = −2, и обе функции, y = 1/x и y = −2/x, являются частными решениями. Для дальнейшего достаточно любой, берём более простую: y₁ = 1/x.
Найденное решение обязательно проверяй подстановкой, это занимает полминуты. Для y₁ = 1/x левая часть равна y₁′ = −1/x², правая — 1/x² − 2/x² = −1/x². Совпало. Если подбор не дал результата, не мучайся часами: либо в условии есть подсказка, либо ты ошибся в типе уравнения, либо нужен другой подход, о котором мы поговорим в последней секции.
Как свести уравнение Риккати к линейному: алгоритм по шагам
Пусть y₁ — известное частное решение уравнения y′ = P(x)y² + Q(x)y + R(x). Первый способ: подстановка y = y₁ + 1/u. Подставляешь её в уравнение, вычитаешь равенство для самого y₁, умножаешь результат на −u², и всё лишнее сокращается. Получается линейное уравнение: u′ = −(2P(x)y₁ + Q(x))u − P(x). Это стандартное линейное ДУ первого порядка, его решают методом Бернулли или интегрирующим множителем.
Второй способ: подстановка y = y₁ + z. После неё уравнение превращается в уравнение Бернулли: z′ = (2P(x)y₁ + Q(x))z + P(x)z². Его решают заменой z = 1/u и приходят к тому же линейному уравнению. Поэтому обычно сразу берут y = y₁ + 1/u и экономят шаг. Но если после замены y = y₁ + z получается совсем простое уравнение, например z′ = z², его быстрее решить разделением переменных.
Весь алгоритм выглядит так. Первое: убедись, что уравнение имеет вид Риккати. Второе: подбери частное решение y₁ и проверь его подстановкой. Третье: сделай замену y = y₁ + 1/u и выпиши уравнение для u. Четвёртое: реши линейное уравнение и найди u с постоянной C. Пятое: вернись к y и упрости. Шестое: не забудь про y = y₁, при такой замене оно «теряется», и его дописывают в ответ отдельно.
Пример 1: как решить y′ = y² − 2/x²?
Это уравнение Риккати, где P = 1, Q = 0, R = −2/x². Частное решение мы уже подобрали: y₁ = 1/x. Делаем замену y = 1/x + 1/u. Формула из алгоритма даёт u′ = −(2 · (1/x) + 0)u − 1, то есть u′ + 2u/x = −1. Получили линейное уравнение первого порядка. Решим его с интегрирующим множителем x².
Умножаем обе части на x²: x²u′ + 2xu = −x². Слева стоит производная произведения: (x²u)′ = −x². Интегрируем: x²u = −x³/3 + C. Отсюда u = −x/3 + C/x² = (3C − x³)/(3x²), и тогда 1/u = 3x²/(3C − x³). Чтобы запись была короче, обозначим C₁ = 3C. Это законно: C — любое число, значит, и 3C — любое. Заметь, что при C₁ = 0 получается y = 1/x − 3/x = −2/x, то есть второе частное решение из подбора уже сидит внутри общей формулы.
Ответ: y = 1/x + 3x²/(C₁ − x³), а также y = 1/x. Проверим. Обозначим w = 3x²/(C₁ − x³), тогда w′ = (6C₁x + 3x⁴)/(C₁ − x³)². Левая часть уравнения равна −1/x² + w′. Правая часть равна 1/x² + 2w/x + w² − 2/x² = −1/x² + 2w/x + w², а 2w/x + w² = (6C₁x + 3x⁴)/(C₁ − x³)². Обе части совпали, ответ верный.
Пример 2: что делать, если после замены получается уравнение Бернулли?
Решим y′ = y² − 2xy + x² + 1. Свободный член — многочлен, поэтому ищем частное решение в виде y = ax. Подставляем: a = a²x² − 2ax² + x² + 1, то есть a = (a − 1)²x² + 1. Это должно выполняться при всех x, значит (a − 1)² = 0 и a = 1. Получили y₁ = x. Проверка: левая часть равна 1, правая x² − 2x² + x² + 1 = 1.
Берём замену y = x + z. Тогда y′ = 1 + z′, а правая часть уравнения равна (y − x)² + 1 = z² + 1. Получаем 1 + z′ = z² + 1, то есть z′ = z². Это Бернулли с нулевым линейным слагаемым, и проще всего решить его разделением переменных: dz/z² = dx. Интегрируем: −1/z = x + C, откуда z = −1/(x + C). Решение z = 0 мы потеряли при делении на z², его надо вернуть.
Возвращаемся к y: y = x − 1/(x + C), а также y = x. Проверим первый ответ: y′ = 1 + 1/(x + C)², а правая часть равна (y − x)² + 1 = 1/(x + C)² + 1. Совпало. Обрати внимание: решение y = x не входит в общую формулу ни при каком конечном C, потому что дробь 1/(x + C) никогда не равна нулю. Значит, его нужно записать отдельно.
Пример 3: как решить задачу Коши для уравнения Риккати?
Найдём решение уравнения y′ = y² − y/x − 4/x² при условии y(1) = 3. Здесь P = 1, Q = −1/x, R = −4/x². Пробуем y = a/x. Тогда −a/x² = a²/x² − a/x² − 4/x². Слагаемые −a/x² сокращаются, остаётся a² = 4, то есть a = 2 или a = −2. Берём y₁ = 2/x. Проверка: левая часть −2/x², правая 4/x² − 2/x² − 4/x² = −2/x². Верно.
Замена y = 2/x + 1/u. Коэффициент при u равен 2Py₁ + Q = 4/x − 1/x = 3/x, поэтому u′ = −3u/x − 1, или u′ + 3u/x = −1. Умножаем на x³: (x³u)′ = −x³. Интегрируем: x³u = −x⁴/4 + C, откуда u = (4C − x⁴)/(4x³) и 1/u = 4x³/(4C − x⁴). Обозначим C₁ = 4C. Общее решение: y = 2/x + 4x³/(C₁ − x⁴), плюс отдельное решение y = 2/x.
Теперь условие y(1) = 3. Подставляем x = 1: 2 + 4/(C₁ − 1) = 3, откуда 4/(C₁ − 1) = 1 и C₁ = 5. Ответ: y = 2/x + 4x³/(5 − x⁴). Проверим условие: 2 + 4/4 = 3. Решение y = 2/x даёт при x = 1 значение 2, поэтому оно не подходит. Знаменатель обращается в ноль при x⁴ = 5, так что ответ действует на промежутке 0 < x < ⁴√5. Свой ответ и график удобно сверить в калькуляторе дифференциальных уравнений Prepodoff.
Что делать, если частное решение не подбирается?
Можно ли решить уравнение Риккати без частного решения? В элементарных функциях обычно нет. Но есть полезный приём для случая P(x) = 1. Подстановка y = −u′/u сводит уравнение y′ = y² + Q(x)y + R(x) к линейному уравнению второго порядка: u″ − Q(x)u′ + R(x)u = 0. Для первого примера оно выглядит как u″ − 2u/x² = 0, и ему удовлетворяют функции u = x² и u = 1/x.
Проверь: из u = 1/x получается y = −u′/u = 1/x, а из u = x² получается y = −2x/x² = −2/x. Это те же два частных решения, что мы нашли подбором. Более того, общее решение линейного уравнения u = C₁x² + C₂/x даёт через y = −u′/u сразу всё семейство: при C₁ = −1 и C₂ = K получается y = 1/x + 3x²/(K − x³), ровно ответ первого примера. Если не помогает ни подбор, ни этот приём, перепроверь тип уравнения и условие: возможно, перепутан знак.
Решай сам, а калькулятор дифференциальных уравнений Prepodoff используй как проверку. Он бесплатный, работает онлайн без регистрации, решает уравнения Риккати пошагово, проверяет ответ подстановкой и строит график. Сравни его ход решения со своим и найди шаг, где вы разошлись. Калькулятор есть и в Telegram-боте @prepodoff_bot, а ИИ-тренер в «Моём плане» поможет составить график подготовки к экзамену по дифурам.
